Функция ци Лежандра - Legendre chi function

В математика, то Функция ци Лежандра это специальная функция чья Серия Тейлор также Серия Дирихле, данный

${\displaystyle \chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.}$

Таким образом, он напоминает серию Дирихле для полилогарифм, и, действительно, тривиально выражается через полилогарифм как

${\displaystyle \chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right].}$

Функция ци Лежандра отображается как дискретное преобразование Фурье относительно порядка ν Дзета-функция Гурвица, а также Полиномы Эйлера, с явными отношениями, указанными в этих статьях.

Функция ци Лежандра является частным случаем Лерх трансцендентный, и задается

${\displaystyle \chi _{\nu }(z)=2^{-\nu }z\,\Phi (z^{2},\nu ,1/2).}$

Идентичности

${\displaystyle \chi _{2}(x)+\chi _{2}(1/x)={\frac {\pi ^{2}}{4}}-{\frac {i\pi }{2}}\ln |x|.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\chi _{2}(x)={\frac {{\rm {artanh\,}}x}{x}}.}$

Интегральные отношения

${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arcsin(r\sin \theta )d\theta =\chi _{2}\left(r\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arctan(r\sin \theta )d\theta =-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {r\theta \cos \theta }{1+r^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta =2\chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {1+r^{2}}}-1}{r}}\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arctan(p\sin \theta )\arctan(q\sin \theta )d\theta =\pi \chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {1+p^{2}}}-1}{p}}\cdot {\frac {{\sqrt {1+q^{2}}}-1}{q}}\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{\beta }{\frac {dxdy}{1-x^{2}y^{2}}}=\chi _{2}(\alpha \beta )\qquad {\rm {if}}~~|\alpha \beta |\leq 1}$

использованная литература

• Вайсштейн, Эрик В. "Функция ци Лежандра". MathWorld.
• Джурдье Цвийович, Яцек Клиновски (1999). «Значения дзета-функций Лежандра и Гурвица при рациональных аргументах». Математика вычислений. 68 (228): 1623–1630. Дои:10.1090 / S0025-5718-99-01091-1.
• Джурдье Цвийович (2007). «Интегральные представления функции Лежандра». Журнал математического анализа и приложений. 332 (2): 1056–1062. arXiv:0911.4731. Дои:10.1016 / j.jmaa.2006.10.083.