Гармонический треугольник Лейбница - Leibniz harmonic triangle

В Гармонический треугольник Лейбница это треугольный расположение единицы измерения в котором крайние диагонали состоят из взаимные номеров строк, а каждая внутренняя ячейка - это ячейка по диагонали выше и слева за вычетом ячейки слева. Поставить это алгебраически, L(р, 1) = 1/р (куда р - номер строки, начиная с 1, а c номер столбца, не более р) и L(р, c) = L(р - 1, c - 1) − L(р, c - 1).

Значения

Первые восемь рядов:

${displaystyle {egin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&&&&1&&&&&&&&&&&&&&&&{frac {1}{2}}&&{frac {1}{2}}&&&&&&&&&&&&&&{frac {1}{3}}&&{frac {1}{6}}&&{frac {1}{3}}&&&&&&&&&&&&{frac {1}{4}}&&{frac {1}{12}}&&{frac {1}{12}}&&{frac {1}{4}}&&&&&&&&&&{frac {1}{5}}&&{frac {1}{20}}&&{frac {1}{30}}&&{frac {1}{20}}&&{frac {1}{5}}&&&&&&&&{frac {1}{6}}&&{frac {1}{30}}&&{frac {1}{60}}&&{frac {1}{60}}&&{frac {1}{30}}&&{frac {1}{6}}&&&&&&{frac {1}{7}}&&{frac {1}{42}}&&{frac {1}{105}}&&{frac {1}{140}}&&{frac {1}{105}}&&{frac {1}{42}}&&{frac {1}{7}}&&&&{frac {1}{8}}&&{frac {1}{56}}&&{frac {1}{168}}&&{frac {1}{280}}&&{frac {1}{280}}&&{frac {1}{168}}&&{frac {1}{56}}&&{frac {1}{8}}&&&&&&vdots &&&&vdots &&&&vdots &&&&end{array}}}$

Знаменатели перечислены в (последовательность A003506 в OEIS ), а числители - все единицы.

Условия

Сроки даны повторениями

${displaystyle a_{n},_{1}={1 choose n}}$

${displaystyle a_{n},_{k}=left({frac {1}{n{inom {n-1}{k-1}}}}ight)}$

и явно

${displaystyle a_{n},_{k}={frac {1}{{inom {n}{k}}k}}}$

Где${displaystyle {inom {n}{k}}}$является биномиальным коэффициентом^[1]

Связь с треугольником Паскаля

В то время как каждая запись в Треугольник Паскаля представляет собой сумму двух записей в приведенной выше строке, каждая запись в треугольнике Лейбница - это сумма двух записей в строке ниже Это. Например, в 5-й строке запись (1/30) представляет собой сумму двух (1/60) в 6-й строке.

Точно так же, как треугольник Паскаля можно вычислить с использованием биномиальных коэффициентов, можно вычислить и треугольник Лейбница: ${displaystyle L(r,c)={frac {1}{r{r-1 choose c-1}}}}$. Кроме того, элементы этого треугольника могут быть вычислены из Паскаля: «Термины в каждой строке - это начальный термин, разделенный на соответствующие элементы треугольника Паскаля».^[2] Фактически, каждая диагональ относится к соответствующим диагоналям треугольника Паскаля: первая диагональ Лейбница состоит из 1 / (1x натуральные числа), вторая из 1 / (2x треугольных чисел), третья из 1 / (3x тетраэдрических чисел) и т. Д. .

Характеристики

Если взять знаменатели числа п-я строка и складывает их, тогда результат будет равен ${displaystyle n2^{n-1}}$. Например, для 3-го ряда у нас 3 + 6 + 3 = 12 = 3 脳 2².

У нас есть ${displaystyle L(r,c)=int _{0}^{1}!x^{c-1}(1-x)^{r-c},dx,.}$

Рекомендации

1. В., Вайсштейн, Эрик. «Гармонический треугольник Лейбница». mathworld.wolfram.com. Получено 2018-04-10.
2. Уэллс, Дэвид (1986). Словарь любопытных и интересных чисел Penguin, стр.98. ISBN  978-0-14-026149-3.