Топология лексикографического порядка на единичном квадрате - Lexicographic order topology on the unit square

В общая топология, то лексикографический порядок на единичной площади (иногда порядок словаря на единичном квадрате^[1]) это топология на единичный квадрат S, т.е. на множестве точек (Икс,y) в самолет такой, что 0 ≤ Икс ≤ 1 и 0 ≤ y ≤ 1.^[2]

Строительство

В лексикографический порядок дает полный заказ ${\displaystyle \prec }$ на точках единичного квадрата: если (Икс,y) и (ты,v) - две точки в квадрате, (Икс,y) ${\displaystyle \scriptstyle \prec }$ (ты,v) если и только если либо Икс < ты или же обе Икс = ты и y < v. Символически заявлено,

${\displaystyle (x,y)\prec (u,v)\iff (x<u)\lor (x=u\land y<v)}$

Лексикографический порядок на единичном квадрате - это порядок топологии индуцированный этим порядком.

Характеристики

Топология заказа составляет S в совершенно нормально Пространство Хаусдорфа.^[3] Поскольку лексикографический порядок на S может быть доказано полный, эта топология делает S в компактное пространство. В то же время, S содержит бесчисленный количество попарно непересекающиеся открытые интервалы, каждый гомеоморфный к реальная линия, а именно интервалы ${\displaystyle U_{x}=\{(x,y):1/4<y<1/2\}}$ за ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$. Так S не является отделяемый, поскольку любое плотное подмножество должно содержать хотя бы одну точку в каждом ${\displaystyle U_{x}}$. Следовательно S не является метризуемый (поскольку любой компактное метрическое пространство отделимо); однако это первый счетный. Кроме того, S подключен, но не связан по пути, и он не связан локально по пути.^[1] Его фундаментальная группа тривиальна.^[2]

Смотрите также

• Список топологий
• Длинная линия

Примечания

1. 1950-, Ли, Джон М. (2011). Введение в топологические многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-1441979391. OCLC  697506452.
2. Стин и Зеебах (1995), п. 73.
3. Стин и Зеебах (1995), п. 66.

Рекомендации

• Steen, L.A .; Зеебах, Дж. А. (1995), Контрпримеры в топологии, Дувр, ISBN  0-486-68735-X