Ли Шанлан личность - Li Shanlan identity

В математика, в комбинаторика, Ли Шаньлань личность (также называемый Формула суммирования Ли Шанланя) является определенным комбинаторный личность относят к девятнадцатому веку Китайский математик Ли Шанлань.^[1] Поскольку Ли Шанлань также известен как Ли Реншу, эта личность также упоминается как Ли Реншу личность.^[2] Эта идентичность появляется в третьей главе книги. Duoji bilei (垛 积 比 类 / 垛 積 比 纇, что означает суммирование конечного ряда), математический текст, созданный Ли Шанланем и опубликованный в 1867 году как часть его собрания сочинений. А Чешский математик Йозеф Кауки опубликовал элементарное доказательство личности вместе с историей личности в 1964 году.^[3] Кауки приписал это имя некоему Ли Джен-Шу. Из истории личности было установлено, что Ли Жэнь-Шу на самом деле Ли Шаньлань.^[1] Западные ученые изучали китайскую математику как историческую ценность; но приписывание этой идентичности китайскому математику девятнадцатого века вызвало переосмысление математической ценности трудов китайских математиков.^[2]

«На Западе Ли лучше всего помнят за комбинаторную формулу, известную как« тождество Ли Реншу », которую он вывел, используя только традиционные китайские математические методы».^[4]

Личность

Личность Ли Шанланя утверждает, что

${\displaystyle \sum _{k=0}^{p}{p \choose k}^{2}{{n+2p-k} \choose {2p}}={{n+p} \choose p}^{2}}$.

Ли Шанлань не представил личность таким образом. Он представил это традиционным китайским алгоритмическим и риторическим способом.^[5]

Подтверждения личности

Ли Шанлань не предоставила удостоверение личности в Duoji bilei. Первое доказательство с использованием дифференциальных уравнений и многочленов Лежандра, чуждых Шанлану концепций, было опубликовано Пал Туран в 1936 г., а доказательство появилось на китайском языке в Юнг Чанг статья опубликована в 1939 году.^[2] С тех пор было найдено не менее пятнадцати различных доказательств.^[2] Следующее - одно из самых простых доказательств.^[6]

Доказательство начинается с выражения ${\displaystyle n \choose q}$ в качестве Извилина Вандермонда:

${\displaystyle {n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{{n-p} \choose k}{p \choose {q-k}}}$

Предварительно умножив обе стороны на ${\displaystyle n \choose p}$,

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{n \choose p}{{n-p} \choose k}{p \choose {q-k}}}$.

Используя следующее соотношение

${\displaystyle {n \choose p}{{n-p} \choose k}={{p+k} \choose k}{n \choose {p+k}}}$

указанное выше соотношение можно преобразовать к

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{p \choose {q-k}}{{p+k} \choose k}{n \choose {p+k}}}$.

Далее отношение

${\displaystyle {p \choose {q-k}}{{p+k} \choose {k}}={q \choose k}{{p+k} \choose {q}}}$

используется, чтобы получить

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{q \choose k}{n \choose {p+k}}{{p+k} \choose q}}$.

Другое применение свертки Вандермонда дает

${\displaystyle {{p+k} \choose q}=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{k \choose {q-j}}}$

и поэтому

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{q \choose k}{n \choose {p+k}}\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{k \choose {q-j}}}$

С ${\displaystyle p \choose j}$ не зависит от k, это можно представить в виде

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}\sum _{k=0}^{q}{q \choose k}{n \choose {p+k}}{k \choose {q-j}}}$

Далее результат

${\displaystyle {q \choose k}{k \choose {q-j}}={q \choose j}{j \choose {q-k}}}$

дает

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}\sum _{k=0}^{q}{q \choose j}{j \choose {q-k}}{n \choose {p+k}}}$

${\displaystyle =\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{q \choose j}\sum _{k=0}^{q}{j \choose {q-k}}{n \choose {p+k}}}$

${\displaystyle =\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{q \choose j}{{n+j} \choose {p+q}}}$

Параметр п = q и замена j к k,

${\displaystyle {n \choose p}^{2}=\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}^{2}{{n+k} \choose {2p}}}$

Тождество Ли следует отсюда заменой п к п + п и сделаем некоторую перестановку терминов в полученном выражении:

${\displaystyle {{n+p} \choose p}^{2}=\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}^{2}{{n+2p-k} \choose {2p}}}$

На Duoji bilei

Период, термин дуоджи обозначает определенный традиционный китайский метод вычисления суммы стопок. Большая часть математики, разработанной в Китае с XVI века, связана с дуоджи метод. Ли Шаньлань был одним из величайших представителей этого метода и Duoji bilei представляет собой экспозицию его работ, связанных с этим методом. Duoji bilei состоит из четырех глав: Глава 1 посвящена треугольным сваям, Глава 2 - ряду конечных степеней, Глава 3 - треугольным саморазумножающимся сваям и Глава 4 - модифицированным треугольным сваям.^[7]

Рекомендации

1. Жан-Клод Марцлофф (1997). История китайской математики. Гейдельберг Берлин: Springer Verlag. С. 342–343. ISBN  9783540337829.
2. Карен В. Х. Паршалл, Жан-Клод Марцлофф (сентябрь 1992 г.). «Ли Шаньлань (1811–1882) и китайская традиционная математика». Математический интеллект. 14 (4): 32–37. Дои:10.1007 / bf03024470. S2CID  123468479.
3. Йозеф Кауцкий (1965). «Новый элемент демонстрации формулы комбинаторики Ли Жэнь Шу». М.-Фузик. Cas.. 15: 206–214.
4. Ванн-Шенг Хорнг. "Китайский математик Ли Шанлань". Британская энциклопедия. Получено 14 ноября 2015.
5. Андреа Бреар (2013). "Китай". В Робин Уилсон, Джон Дж. Уоткинс (ред.). Комбинаторика: древнее и современное. Оксфорд: ОУП. С. 78–79. ISBN  9780191630637.
6. Джон Риордан (1979). Комбинаторные идентичности. Нью-Йорк: Издательство Роберта Э. Кригера. С. 15–16. ISBN  0882758292.
7. Тянь Мяо (2003). "Вестернизация китайской математики: тематическое исследование Duoji метод и его развитие ». Восточноазиатская наука, технологии и медицина. 20: 45–72. Дои:10.1163/26669323-02001004.