Теорема Линделёфа - Lindelöfs theorem - Wikipedia

Не путать с Лемма Линделёфа в топология.

В математика, Теорема Линделёфа это результат комплексный анализ названный в честь Финский математик Эрнст Леонард Линделёф. В нем говорится, что голоморфная функция на полполосе в комплексная плоскость то есть ограниченный на граница полосы и не растет «слишком быстро» в неограниченном направлении. Полоса должна оставаться ограниченной по всей полосе. Результат полезен при изучении Дзета-функция Римана, и является частным случаем Принцип Фрагмена – Линделёфа. Также см Теорема Адамара о трех линиях.

Формулировка теоремы

Пусть Ω - полуполоса на комплексной плоскости:

${\displaystyle \Omega =\{z\in \mathbb {C} |x_{1}\leq \mathrm {Re} (z)\leq x_{2}{\text{ and }}\mathrm {Im} (z)\geq y_{0}\}\subsetneq \mathbb {C} .\,}$

Предположим, что ƒ является голоморфный (т.е. аналитический ) на Ω и существуют постоянные M, А и B такой, что

${\displaystyle |f(z)|\leq M{\text{ for all }}z\in \partial \Omega \,}$

и

${\displaystyle {\frac {|f(x+iy)|}{y^{A}}}\leq B{\text{ for all }}x+iy\in \Omega .\,}$

потом ж ограничен M на всем Ω:

${\displaystyle |f(z)|\leq M{\text{ for all }}z\in \Omega .\,}$

Доказательство

Зафиксируйте точку ${\displaystyle \xi =\sigma +i\tau }$ внутри ${\displaystyle \Omega }$. выбирать ${\displaystyle \lambda >-y_{0}}$, целое число ${\displaystyle N>A}$ и ${\displaystyle y_{1}>\tau }$ достаточно большой, чтобы${\displaystyle {\frac {By_{1}^{A}}{(y_{1}+\lambda )^{N}}}\leq {\frac {M}{(y_{0}+\lambda )^{N}}}}$. Применение принцип максимального модуля к функции ${\displaystyle g(z)={\frac {f(z)}{(z+i\lambda )^{N}}}}$ и прямоугольная область ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} |x_{1}\leq \mathrm {Re} (z)\leq x_{2}{\text{ and }}y_{0}\leq \mathrm {Im} (z)\leq y_{1}\}}$ мы получаем ${\displaystyle |g(\xi )|\leq {\frac {M}{(y_{0}+\lambda )^{N}}}}$, то есть, ${\displaystyle |f(\xi )|\leq M\left({\frac {|\xi +\lambda |}{y_{0}+\lambda }}\right)^{N}}$. Сдача ${\displaystyle \lambda \rightarrow +\infty }$ дает ${\displaystyle |f(\xi )|\leq M}$ как требуется.

Рекомендации

• Эдвардс, Х. (2001). Дзета-функция Римана. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Дувр. ISBN  0-486-41740-9.