Пересечение линии и сферы - Line–sphere intersection

Три возможных пересечения линии и сферы:
1. Нет пересечения.
2. Точка пересечения.
3. Пересечение двух точек.

В аналитическая геометрия, а линия и сфера может пересекаться тремя способами:

1. Никакого пересечения
2. Пересечение ровно в одной точке
3. Пересечение в двух точках.

Методы различения этих случаев и определения координаты точки в последних случаях полезны в ряде обстоятельств. Например, это обычный расчет, выполняемый во время трассировка лучей ^[1].

Расчет с использованием векторов в 3D

В векторные обозначения, уравнения имеют следующий вид:

Уравнение для сфера

${displaystyle leftVert mathbf {x} -mathbf {c} ightVert ^{2}=r^{2}}$

• ${displaystyle mathbf {c} }$ - Центральная точка
• ${displaystyle r}$ - радиус
• ${displaystyle mathbf {x} }$ - точки на сфере

Уравнение для линии, начинающейся в ${displaystyle mathbf {o} }$

${displaystyle mathbf {x} =mathbf {o} +dmathbf {u} }$

• ${displaystyle d}$ - расстояние по линии от начальной точки
• ${displaystyle mathbf {u} }$ - направление линии (a единичный вектор )
• ${displaystyle mathbf {o} }$ - происхождение линии
• ${displaystyle mathbf {x} }$ - точки на линии

Поиск точек на линии и на сфере означает объединение уравнений и решение ${displaystyle d}$с участием скалярное произведение векторов:

Комбинированные уравнения

${displaystyle leftVert mathbf {o} +dmathbf {u} -mathbf {c} ightVert ^{2}=r^{2}Leftrightarrow (mathbf {o} +dmathbf {u} -mathbf {c} )cdot (mathbf {o} +dmathbf {u} -mathbf {c} )=r^{2}}$

Расширенный

${displaystyle d^{2}(mathbf {u} cdot mathbf {u} )+2d(mathbf {u} cdot (mathbf {o} -mathbf {c} ))+(mathbf {o} -mathbf {c} )cdot (mathbf {o} -mathbf {c} )=r^{2}}$

Переставил

${displaystyle d^{2}(mathbf {u} cdot mathbf {u} )+2d(mathbf {u} cdot (mathbf {o} -mathbf {c} ))+(mathbf {o} -mathbf {c} )cdot (mathbf {o} -mathbf {c} )-r^{2}=0}$

Форма квадратичная формула теперь можно наблюдать. (Это квадратное уравнение является примером уравнения Иоахимсталя.^[2])

${displaystyle ad^{2}+bd+c=0}$

куда

• ${displaystyle a=mathbf {u} cdot mathbf {u} =leftVert mathbf {u} ightVert ^{2}}$
• ${displaystyle b=2(mathbf {u} cdot (mathbf {o} -mathbf {c} ))}$
• ${displaystyle c=(mathbf {o} -mathbf {c} )cdot (mathbf {o} -mathbf {c} )-r^{2}=leftVert mathbf {o} -mathbf {c} ightVert ^{2}-r^{2}}$

Упрощенный

${displaystyle d={frac {-2(mathbf {u} cdot (mathbf {o} -mathbf {c} ))pm {sqrt {(2(mathbf {u} cdot (mathbf {o} -mathbf {c} )))^{2}-4leftVert mathbf {u} ightVert ^{2}(leftVert mathbf {o} -mathbf {c} ightVert ^{2}-r^{2})}}}{2leftVert mathbf {u} ightVert ^{2}}}}$

Обратите внимание, что ${displaystyle mathbf {u} }$ является единичным вектором, и поэтому ${displaystyle leftVert mathbf {u} ightVert ^{2}=1}$. Таким образом, мы можем упростить это до

${displaystyle d=-(mathbf {u} cdot (mathbf {o} -mathbf {c} ))pm {sqrt {abla }}}$

${displaystyle abla =(mathbf {u} cdot (mathbf {o} -mathbf {c} ))^{2}-(leftVert mathbf {o} -mathbf {c} ightVert ^{2}-r^{2})}$

• Если ${displaystyle abla <0}$, то ясно, что решений не существует, т.е. линия не пересекает сферу (случай 1).
• Если ${displaystyle abla =0}$, то существует ровно одно решение, т.е. прямая касается сферы в одной точке (случай 2).
• Если ${displaystyle abla >0}$, существует два решения, поэтому линия касается сферы в двух точках (случай 3).

Смотрите также

• Аналитическая геометрия
• Пересечение прямой и плоскости
• Пересечение плоскости с плоскостью

Рекомендации

1. Эберли, Дэвид Х. (2006). Дизайн трехмерного игрового движка: практический подход к компьютерной графике в реальном времени, 2-е издание. Морган Кауфманн. п. 698. ISBN  0-12-229063-1.
2. [1]