Список сверток вероятностных распределений - List of convolutions of probability distributions

В теория вероятности, то распределение вероятностей из суммы двух или более независимый случайные переменные это свертка их индивидуальных распределений. Термин мотивирован тем, что функция массы вероятности или же функция плотности вероятности суммы независимых случайных величин является свертка соответствующих им функций массы вероятности или функций плотности вероятности соответственно. Многие известные дистрибутивы имеют простые свертки. Ниже приводится список этих сверток. Каждое заявление имеет форму

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim Y}$

куда ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ - независимые случайные величины, а ${\displaystyle Y}$ это распределение, которое получается в результате свертки ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$. На месте ${\displaystyle X_{i}}$ и ${\displaystyle Y}$ указаны названия соответствующих распределений и их параметры.

Дискретные распределения

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Bernoulli} (p)\sim \mathrm {Binomial} (n,p)\qquad 0<p<1\quad n=1,2,\dots }$

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Binomial} (n_{i},p)\sim \mathrm {Binomial} \left(\sum _{i=1}^{n}n_{i},p\right)\qquad 0<p<1\quad n_{i}=1,2,\dots }$

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {NegativeBinomial} (n_{i},p)\sim \mathrm {NegativeBinomial} \left(\sum _{i=1}^{n}n_{i},p\right)\qquad 0<p<1\quad n_{i}=1,2,\dots }$

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Geometric} (p)\sim \mathrm {NegativeBinomial} (n,p)\qquad 0<p<1\quad n=1,2,\dots }$

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Poisson} (\lambda _{i})\sim \mathrm {Poisson} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)\qquad \lambda _{i}>0}$

Непрерывные распределения

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Normal} (\mu _{i},\sigma _{i}^{2})\sim \mathrm {Normal} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}\right)\qquad -\infty <\mu _{i}<\infty \quad \sigma _{i}^{2}>0}$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Cauchy} (a_{i},\gamma _{i})\sim \mathrm {Cauchy} \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i},\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}\right)\qquad -\infty <a_{i}<\infty \quad \gamma _{i}>0}$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Gamma} (\alpha _{i},\beta )\sim \mathrm {Gamma} \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i},\beta \right)\qquad \alpha _{i}>0\quad \beta >0}$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Exponential} (\theta )\sim \mathrm {Gamma} (n,\theta )\qquad \theta >0\quad n=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\chi ^{2}(r_{i})\sim \chi ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}\right)\qquad r_{i}=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}N^{2}(0,1)\sim \chi _{r}^{2}\qquad r=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2},\quad }$ куда ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ случайная выборка из ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ и ${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}.}$

Смотрите также

• Алгебра случайных величин
• Связи между распределениями вероятностей
• Бесконечная делимость (вероятность)
• Стабильное распространение
• Распространение продукции
• Распределение смеси
• Сумма нормально распределенных случайных величин

Рекомендации

• Хогг, Роберт В.; Маккин, Джозеф В .; Крейг, Аллен Т. (2004). Введение в математическую статистику (6-е изд.). Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall. п. 692. ISBN  978-0-13-008507-8. МИСТЕР  0467974.