Проверка местоположения для распределений смеси в гауссовом масштабе - Location testing for Gaussian scale mixture distributions - Wikipedia

В статистика, тема локальное тестирование для распределений смеси в гауссовом масштабе возникает в некоторых особых ситуациях, когда более стандартные T-тест Стьюдента неприменимо. В частности, эти случаи позволяют тесты местоположения должно быть сделано, если предположение, что выборочные наблюдения происходят от популяций, имеющих нормальное распределение можно заменить предположением, что они возникают из распределения смеси в гауссовом масштабе. Класс распределений смеси гауссовского масштаба содержит все симметричные стабильные дистрибутивы, Распределения Лапласа, логистические распределения, экспоненциальное распределение мощности и т. д.^[1][2]

Вводить

т^грамм_п(Икс),

аналог Распределение Стьюдента для смесей гауссова масштаба. Это означает, что если мы проверим нулевую гипотезу о том, что центр распределения смеси гауссовского масштаба равен 0, скажем, тогда т_п^грамм(Икс) (Икс ≥ 0) является инфимум всех монотонно неубывающих функций ты(Икс) ≥ 1/2, Икс ≥ 0 такой, что если критические значения теста ты⁻¹(1 − α), то уровень значимости самое большее α ≥ 1/2 для всех распределений смеси в гауссовом масштабе [т^грамм_п(х) = 1 -т^грамм_п(−Икс),за Икс <0]. Явная формула для т^грамм_п(Икс), приводится в статьях в библиографии в терминах T-распределения Стьюдента, т_k, k = 1, 2, …, п. Вводить

Φ^грамм(Икс): = lim_п → ∞ т^грамм_п(Икс),

смесь гауссовского масштаба аналог стандартной нормальной кумулятивная функция распределения, Φ (x).

Теорема. Φ^грамм(Икс) = 1/2 для 0 ≤Икс <1, Φ^грамм(1) = 3/4, Φ^грамм(Икс) = C(Икс/(2 − Икс²)^1/2) для квантилей от 1/2 до 0,875, где C(Икс) является стандартным Кумулятивная функция распределения Коши. Это выпуклая часть кривой Φ^грамм(Икс), Икс ≥ 0, за которым следует линейный участок Φ^грамм(Икс) = Икс/(2√3) + 1/2 для 1,3136… <Икс <1,4282 ... Таким образом, квантиль 90% равен 4√3/ 5. Самое главное,

Φ^грамм(Икс) = Φ (Икс) за Икс ≥ √3.

Отметим, что Φ (√3) = 0,958…, таким образом, классический 95% доверительный интервал для неизвестного ожидаемого значения гауссовых распределений покрывает центр симметрии с вероятностью не менее 95% для распределений смеси гауссовского масштаба. С другой стороны, квантиль 90% Φ^грамм(Икс) равно 4√3/ 5 = 1,385…> Φ⁻¹(0,9) = 1,282… В приложениях важны следующие критические значения: 0,95 = Φ (1,645) = Φ^грамм(1.651) и 0.9 = Φ (1.282) = Φ^грамм(1.386).^[3]

Для распространения теоремы на все симметричные унимодальные распределения можно начать с классического результата Александр Хинчин: а именно, что все симметричные унимодальные распределения являются масштабными смесями симметричных однородных распределений.

Открытая проблема

Аналог теоремы выше для класса всех симметричных распределений или, что то же самое, для класса масштабных смесей случайных величин, подбрасывающих монету, приводит к следующей проблеме:^[4]

Сколько вершин п-размерный единичный куб покрывается сферой с заданным радиусом р (и меняющийся центр)? Ответьте на этот вопрос для всех натуральных чисел п и все положительные действительные числар. (Некоторые частные случаи легко вычислить.)

Рекомендации

1. Эндрюс, Д. и К. Мэллоуз, К. (1974) «Масштабные смеси нормальных распределений». Журнал Королевского статистического общества, 36, 99–102 JSTOR  2984774
2. Вест, М. (1987) "Масштабные смеси нормальных распределений", Биометрика, 74(3), 646–648 Дои:10.1093 / biomet / 74.3.646
3. Бакиров, Н. и Секели, Г. Дж. (2005). «Тест Стьюдента для смесей по шкале Гаусса» (альтернативная ссылка ) Записки научных семинаров ПОМИ, 328, Вероятность и статистика. Часть 9 (редактор В. Н. Судаков) 5–19. Переиздано (2006 г.): Журнал математических наук, 139 (3) 6497–6505 Дои: 10.1007 / s10958-006-0366-5 .
4. Секели, Г. Дж. (2004/2006). «Тест Стьюдента для ошибок смешения шкал», Оптимальность: Второй симпозиум Эриха Л. Лемана, 19–22 мая 2004 г., Университет Райса, Под ред. Рохо, Дж. Примечания к лекциям - серия монографий, номер 49, Бичвуд, Огайо, Институт математической статистики, 10–18. Дои: 10.1214/074921706000000365.