Логарифмические неравенства Соболева - Logarithmic Sobolev inequalities

В математика, логарифмические неравенства Соболева являются классом неравенств, содержащих норму функции ж, его логарифм и градиент ${\displaystyle \nabla f}$. Эти неравенства были обнаружены и названы Леонард Гросс кто их основал ^[1][2] в форме, не зависящей от размеров, в контексте конструктивная квантовая теория поля. Подобные результаты были обнаружены другими математиками и раньше, и известно множество вариантов таких неравенств.

Валовой^[3] доказали неравенство:

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}f(x){\big |}^{2}\log {\big |}f(x){\big |}\,d\nu (x)\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}\nabla f(x){\big |}^{2}\,d\nu (x)+\|f\|_{2}^{2}\log \|f\|_{2},}$

куда ${\displaystyle \|f\|_{2}}$ это ${\displaystyle L^{2}(\nu )}$-норма ${\displaystyle f}$, с ${\displaystyle \nu }$ быть стандартным Гауссова мера на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ В отличие от классических Соболевские неравенства, Логарифмическое неравенство Соболева Гросса не имеет константы, зависящей от размерности, что делает его применимым в бесконечномерном пределе.

Примечания

1. Валовой 1975a
2. Валовой 1975b
3. Валовой 1975a

Рекомендации

• Гросс, Леонард (1975a), «Логарифмические неравенства Соболева», Американский журнал математики, 97 (4): 1061–1083, Дои:10.2307/2373688, JSTOR  2373688
• Гросс, Леонард (1975b), «Гиперсжимаемость и логарифмические неравенства Соболева для формы Клиффорда-Дирихле», Герцогский журнал математики: 383–396, Дои:10.1215 / S0012-7094-75-04237-4