Теорема Лукача о пропорционально-сумме независимости - Lukacss proportion-sum independence theorem - Wikipedia

В статистика, Теорема Лукача о пропорционально-сумме независимости результат, который используется при изучении пропорций, в частности Распределение Дирихле. Он назван в честь Евгений Лукач.^[1]

Теорема

Если Y₁ и Y₂ невырождены, независимый случайные переменные, то случайные величины

${\displaystyle W=Y_{1}+Y_{2}{\text{ and }}P={\frac {Y_{1}}{Y_{1}+Y_{2}}}}$

независимо распределены если и только если обе Y₁ и Y₂ имеют гамма-распределения с таким же масштабным параметром.

Следствие

Предполагать Y _я, я = 1, ..., k быть невырожденными, независимыми, положительными случайными величинами. Тогда каждый из k - 1 случайная величина

${\displaystyle P_{i}={\frac {Y_{i}}{\sum _{i=1}^{k}Y_{i}}}}$

не зависит от

${\displaystyle W=\sum _{i=1}^{k}Y_{i}}$

если и только если все Y _я имеют гамма-распределения с одинаковым масштабным параметром.^[2]

Рекомендации

1. Лукач, Евгений (1955). «Характеристика гамма-распределения». Анналы математической статистики. 26: 319–324. Дои:10.1214 / aoms / 1177728549.
2. Мосиманн, Джеймс Э. (1962). "На составном полиномиальном распределении многомерное ${\displaystyle \beta }$ распределение и соотношение между пропорциями ». Биометрика. 49 (1 и 2): 65–82. Дои:10.1093 / biomet / 49.1-2.65. JSTOR  2333468.

• Ng, W. N .; Тиан, Г. Л.; Тан, М.Л. (2011). Дирихле и родственные распределения. John Wiley & Sons, Ltd. ISBN  978-0-470-68819-9. стр.64. Теорема Лукача о пропорционально-сумме независимости и следствие с доказательством.