Неравенство Малера - Mahlers inequality - Wikipedia

В математика, Неравенство Малера, названный в честь Курт Малер, заявляет, что среднее геометрическое почленной суммы двух конечных последовательностей положительных чисел больше или равно сумме их двух отдельных геометрических средних:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}(x_{k}+y_{k})^{1/n}\geq \prod _{k=1}^{n}x_{k}^{1/n}+\prod _{k=1}^{n}y_{k}^{1/n}}$

когда Икс_k, у_k > 0 для всех k.

Доказательство

Посредством неравенство средних арифметических и геометрических, у нас есть:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left({x_{k} \over x_{k}+y_{k}}\right)^{1/n}\leq {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}{x_{k} \over x_{k}+y_{k}},}$

и

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left({y_{k} \over x_{k}+y_{k}}\right)^{1/n}\leq {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}{y_{k} \over x_{k}+y_{k}}.}$

Следовательно,

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left({x_{k} \over x_{k}+y_{k}}\right)^{1/n}+\prod _{k=1}^{n}\left({y_{k} \over x_{k}+y_{k}}\right)^{1/n}\leq {1 \over n}n=1.}$

Расчетные знаменатели затем дает желаемый результат.

Смотрите также

• Неравенство Минковского

Рекомендации

• http://eom.springer.de/M/m064060.htm