Формула прироста масонов - Masons gain formula - Wikipedia

Формула усиления Мейсона (MGF) это метод поиска функция передачи линейного график потока сигналов (SFG). Формула была получена Сэмюэл Джефферсон Мейсон,^[1] в честь кого он также назван. MGF - это альтернативный метод алгебраического нахождения передаточной функции путем маркировки каждого сигнала, записи уравнения того, как этот сигнал зависит от других сигналов, а затем решения нескольких уравнений для выходного сигнала в терминах входного сигнала. MGF предоставляет пошаговый метод получения передаточной функции из SFG. Часто MGF можно определить путем проверки SFG. Этот метод может легко обрабатывать SFG с множеством переменных и циклов, включая циклы с внутренними циклами. MGF часто возникает в контексте Системы управления и цифровые фильтры, поскольку системы управления и цифровые фильтры часто представлены SFG.

Формула

Формула усиления выглядит следующим образом:

${\displaystyle G={\frac {y_{\text{out}}}{y_{\text{in}}}}={\frac {\sum _{k=1}^{N}{G_{k}\Delta _{k}}}{\Delta \ }}}$

${\displaystyle \Delta =1-\sum L_{i}+\sum L_{i}L_{j}-\sum L_{i}L_{j}L_{k}+\cdots +(-1)^{m}\sum \cdots +\cdots }$

куда:

• Δ = определитель графа.
• у_в = переменная входного узла
• у_из = переменная выходного узла
• грамм = полное усиление между у_в и у_из
• N = общее количество прямых путей между у_в и у_из
• грамм_k = усиление пути kй прямой путь между у_в и у_из
• L_я = усиление каждого замкнутого контура в системе
• L_яL_j = произведение коэффициентов усиления контура любых двух не касающихся контуров (без общих узлов)
• L_яL_jL_k = произведение коэффициентов усиления любых трех попарно не соприкасающихся петель
• Δ_k = значение кофактора Δ для k^th прямой путь, при этом петли касаются k^th прямой путь удален. *

Определения^[2]

• Путь: непрерывный набор ветвей, пересекаемых в указанном ими направлении.
• Прямой путь: путь от входного узла к выходному узлу, в котором ни один из узлов не затрагивается более одного раза.
• Цикл: путь, который начинается и заканчивается на одном узле, в котором ни один узел не затрагивается более одного раза.
• Прирост на пути: результат прироста всех ветвей на пути.
• Коэффициент усиления петли: произведение коэффициентов усиления всех ветвей петли.

Процедура поиска решения

1. Составьте список всех путей продвижения и их достижений и пометьте их. грамм_k.
2. Составьте список всех петель и их усиления и пометьте их L_я (за я петли). Составьте список всех пар не касающихся петель и произведений их выигрышей (L_яL_j). Составьте список всех попарно не соприкасающихся петель, взятых по три за раз (L_яL_jL_k), затем по четыре и так далее, пока их больше не будет.
3. Вычислить определитель Δ и сомножители Δ_k.
4. Примените формулу.

Примеры

Схема, содержащая два порта

График прохождения сигналов в цепи, содержащей два порта. Прямой путь от входа к выходу показан другим цветом.

Передаточная функция от V_в к V₂ желательно.

Есть только один прямой путь:

• V_в к V₁ к я₂ к V₂ с прибылью ${\displaystyle G_{1}=-y_{21}R_{L}\,}$

Есть три петли:

• V₁ к я₁ к V₁ с прибылью ${\displaystyle L_{1}=-R_{\text{in}}y_{11}\,}$
• V₂ к я₂ к V₂ с прибылью ${\displaystyle L_{2}=-R_{L}y_{22}\,}$
• V₁ к я₂ к V₂ к я₁ к V₁ с прибылью ${\displaystyle L_{3}=y_{21}R_{L}y_{12}R_{\text{in}}\,}$

${\displaystyle \Delta =1-(L_{1}+L_{2}+L_{3})+(L_{1}L_{2})\,}$ Примечание: L₁ и L₂ не касайтесь друг друга, тогда как L₃ касается обеих других петель.

${\displaystyle \Delta _{1}=1\,}$ примечание: прямой путь касается всех петель, поэтому все, что осталось, 1.

${\displaystyle G={\frac {G_{1}\Delta _{1}}{\Delta }}={\frac {-y_{21}R_{L}}{1+R_{\text{in}}y_{11}+R_{L}y_{22}-y_{21}R_{L}y_{12}R_{\text{in}}+R_{\text{in}}y_{11}R_{L}y_{22}}}\,}$

Цифровой биквадратный БИХ-фильтр

График потока сигналов (SFG) для цифрового двухквадратного фильтра с бесконечной импульсной характеристикой. Этот SFG имеет три прямых пути и два цикла.

Цифровые фильтры часто изображаются в виде диаграмм потока сигналов.

Есть две петли

• ${\displaystyle L_{1}=-a_{1}Z^{-1}\,}$
• ${\displaystyle L_{2}=-a_{2}Z^{-2}\,}$

${\displaystyle \Delta =1-(L_{1}+L_{2})\,}$ Обратите внимание, две петли соприкасаются, поэтому для их продукта нет термина.

Есть три прямых пути

• ${\displaystyle G_{0}=b_{0}\,}$
• ${\displaystyle G_{1}=b_{1}Z^{-1}\,}$
• ${\displaystyle G_{2}=b_{2}Z^{-2}\,}$

Все прямые пути касаются всех петель, поэтому ${\displaystyle \Delta _{0}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1\,}$

${\displaystyle G={\frac {G_{0}\Delta _{0}+G_{1}\Delta _{1}+G_{2}\Delta _{2}}{\Delta }}\,}$

${\displaystyle G={\frac {b_{0}+b_{1}Z^{-1}+b_{2}Z^{-2}}{1+a_{1}Z^{-1}+a_{2}Z^{-2}}}\,}$

Сервопривод

Сервопривод углового положения и график прохождения сигнала. θ_C = желаемая угловая команда, θ_L = фактический угол нагрузки, K_п = усиление контура положения, V_ωC = команда скорости, V_ωM = напряжение измерения скорости двигателя, K_V = усиление контура скорости, V_IC = текущая команда, V_Я = напряжение измерения тока, K_C = усиление токовой петли, V_А = выходное напряжение усилителя мощности, V_M = эффективное напряжение на индуктивности, L_M = индуктивность двигателя, я_M = ток двигателя, р_M = сопротивление двигателя, р_S = текущее чувствительное сопротивление, K_M = постоянная крутящего момента двигателя (Нм/ amp), Т = крутящий момент, M = момент инерции всех вращающихся компонентов α = угловое ускорение, ω = угловая скорость, β = механическое демпфирование, грамм_M = постоянная противо-ЭДС двигателя, грамм_Т = постоянная коэффициента усиления тахометра. Есть один прямой путь (показан другим цветом) и шесть контуров обратной связи. Приводной вал считается достаточно жестким, чтобы его нельзя было рассматривать как пружину. Константы показаны черным, а переменные - фиолетовым.

График потока сигналов имеет шесть петель. Они есть:

• ${\displaystyle L_{0}=-{\frac {\beta }{sM}}\,}$

• ${\displaystyle L_{1}={\frac {-(R_{M}+R_{S})}{sL_{M}}}\,}$

• ${\displaystyle L_{2}=\,{\frac {-G_{M}K_{M}}{s^{2}L_{M}M}}}$

• ${\displaystyle L_{3}={\frac {-K_{C}R_{S}}{sL_{M}}}\,}$

• ${\displaystyle L_{4}={\frac {-K_{V}K_{C}K_{M}G_{T}}{s^{2}L_{M}M}}\,}$

• ${\displaystyle L_{5}={\frac {-K_{P}K_{V}K_{C}K_{M}}{s^{3}L_{M}M}}\,}$

${\displaystyle \Delta =1-(L_{0}+L_{1}+L_{2}+L_{3}+L_{4}+L_{5})+(L_{0}L_{1}+L_{0}L_{3})\,}$

Есть один прямой путь:

• ${\displaystyle g_{0}={\frac {K_{P}K_{V}K_{C}K_{M}}{s^{3}L_{M}M}}\,}$

Прямой путь касается всех петель, поэтому коэффициент ${\displaystyle \Delta _{0}=1}$

И усиление от входа к выходу равно ${\displaystyle {\frac {\theta _{L}}{\theta _{C}}}={\frac {g_{0}\Delta _{0}}{\Delta }}\,}$

Эквивалентная матричная форма

Правило Мейсона можно сформулировать в простой матричной форме. Предполагать ${\displaystyle \mathbf {T} }$ - переходная матрица графа, где ${\displaystyle t_{nm}=\left[\mathbf {T} \right]_{nm}}$ это суммарный коэффициент пропускания ветвей от узла м к узлу п. Тогда выигрыш от узла м узел п графа равно ${\displaystyle u_{nm}=\left[\mathbf {U} \right]_{nm}}$, куда

${\displaystyle \mathbf {U} =\left(\mathbf {I} -\mathbf {T} \right)^{-1}}$,

и ${\displaystyle \mathbf {I} }$ - единичная матрица.

Правило Мейсона также особенно полезно для получения передаточной функции в z-области дискретных сетей, которые имеют внутренние петли обратной связи, встроенные во внешние петли обратной связи (вложенные петли). Если дискретную сеть можно нарисовать в виде графа потока сигналов, то применение правила Мейсона даст передаточную функцию H (z) этой сети в z-области.

Сложность и вычислительные приложения

Правило Мейсона может увеличиваться факториально, потому что количество путей в ориентированном графе резко увеличивается. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим полный ориентированный граф на ${\displaystyle n}$ вершины, имея ребро между каждой парой вершин. Есть форма пути ${\displaystyle y_{\text{in}}}$ к ${\displaystyle y_{\text{out}}}$ для каждого из ${\displaystyle (n-2)!}$ перестановки промежуточных вершин. Таким образом Гауссово исключение в общем случае более эффективен.

Тем не менее, правило Мейсона характеризует передаточные функции взаимосвязанных систем одновременно алгебраическим и комбинаторным образом, что позволяет делать общие утверждения и другие вычисления в теории алгебраических систем. Хотя во время исключения по Гауссу происходит множество обратных событий, правило Мейсона естественным образом объединяет их в один квазиобратный. Общая форма

${\displaystyle {\frac {p}{1-q}},}$

Где, как описано выше, ${\displaystyle q}$ представляет собой сумму продуктов цикла, каждый из которых обычно попадает в идеальный (например, строго причинные операторы). Фракции этой формы составляют подкольцо ${\displaystyle R(1+\langle L_{i}\rangle )^{-1}}$ из поле рациональных функций. Это наблюдение переносится на некоммутативный случай,^[3] хотя само правило Мэйсона должно быть заменено Правило Ригла.

Смотрите также

• График потока сигналов
• Правило Ригла

Примечания

1. Мейсон, Сэмюэл Дж. (Июль 1956 г.). «Теория обратной связи - дополнительные свойства графов потоков сигналов» (PDF). Труды IRE. 44 (7): 920–926. Дои:10.1109 / jrproc.1956.275147. HDL:1721.1/4778. S2CID  18184015.
2. Куо, Бенджамин С. (1967). Системы автоматического управления (2-е изд.). Прентис-Холл. С. 59–60.
3. Pliam, J.O. и Ли, Э.Б. (1995). «О глобальных свойствах взаимосвязанных систем». IEEE Trans. Circuits and Syst. я. 42 (12): 1013–1017. Дои:10.1109/81.481196.

Рекомендации

• Болтон, В. Ньюнес (1998). Справочник по технике управления. Оксфорд: Newnes.
• Ван Валкенбург, М. Э. (1974). Сетевой анализ (3-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл.