Материал Максвелла - Maxwell material

А Материал Максвелла это вязкоупругий материал, обладающий как свойствами эластичность и вязкость.^[1] Он назван в честь Джеймс Клерк Максвелл который предложил модель в 1867 году. Она также известна как жидкость Максвелла.

Определение

Модель Максвелла может быть представлена ​​последовательно соединенными чисто вязким демпфером и чисто упругой пружиной,^[2] как показано на схеме. В этой конфигурации под приложенным осевым напряжением полное напряжение, ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {Total} }}$ и общая деформация, ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {Total} }}$ можно определить следующим образом:^[1]

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {Total} }=\sigma _{D}=\sigma _{S}}$

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {Total} }=\varepsilon _{D}+\varepsilon _{S}}$

где индекс D указывает напряжение-деформацию в демпфере, а индекс S указывает напряжение-деформацию в пружине. Взяв производную деформации по времени, получим:

${\displaystyle {\frac {d\varepsilon _{\mathrm {Total} }}{dt}}={\frac {d\varepsilon _{D}}{dt}}+{\frac {d\varepsilon _{S}}{dt}}={\frac {\sigma }{\eta }}+{\frac {1}{E}}{\frac {d\sigma }{dt}}}$

куда E - модуль упругости и η - коэффициент вязкости материала. Эта модель описывает демпфер как Ньютоновская жидкость и моделирует пружину с Закон Гука.

Если вместо этого мы соединим эти два элемента параллельно,^[2] мы получаем обобщенную модель Материал Кельвина – Фойгта.

В материале Максвелла стресс σ, напряжение ε и скорость их изменения относительно времени t регулируются уравнениями вида:^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{E}}{\frac {d\sigma }{dt}}+{\frac {\sigma }{\eta }}={\frac {d\varepsilon }{dt}}}$

или в точечной нотации:

${\displaystyle {\frac {\dot {\sigma }}{E}}+{\frac {\sigma }{\eta }}={\dot {\varepsilon }}}$

Уравнение можно применить либо к напряжение сдвига или к равномерному натяжению материала. В первом случае вязкость соответствует вязкости Ньютоновская жидкость. В последнем случае он имеет несколько иное значение, касающееся напряжения и скорости деформации.

Модель обычно применяется в случае небольших деформаций. Для больших деформаций следует учитывать геометрическую нелинейность. Самый простой способ обобщения модели Максвелла см. В модель Максвелла с верхней конвекцией.

Эффект внезапной деформации

Если материал Максвелла внезапно деформируется и удерживается напряжение из ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$, то напряжение спадает с характерным временем ${\displaystyle {\frac {\eta }{E}}}$, известный как время отдыха. Это явление известно как снятие стресса.

На картинке показана зависимость безразмерного напряжения ${\displaystyle {\frac {\sigma (t)}{E\varepsilon _{0}}}}$ по безразмерному времени ${\displaystyle {\frac {E}{\eta }}t}$:

Зависимость безразмерного напряжения от безразмерного времени при постоянной деформации

Если мы освободим материал вовремя ${\displaystyle t_{1}}$, то упругий элемент отскочит назад на величину

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {back} }=-{\frac {\sigma (t_{1})}{E}}=\varepsilon _{0}\exp \left(-{\frac {E}{\eta }}t_{1}\right).}$

Поскольку вязкий элемент не вернется к своей исходной длине, необратимый компонент деформации можно упростить до следующего выражения:

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {irreversible} }=\varepsilon _{0}\left(1-\exp \left(-{\frac {E}{\eta }}t_{1}\right)\right).}$

Эффект внезапного стресса

Если материал Максвелла внезапно подвергается нагрузке ${\displaystyle \sigma _{0}}$, то упругий элемент внезапно деформируется, а вязкий элемент деформируется с постоянной скоростью:

${\displaystyle \varepsilon (t)={\frac {\sigma _{0}}{E}}+t{\frac {\sigma _{0}}{\eta }}}$

Если когда-нибудь ${\displaystyle t_{1}}$ мы бы освободили материал, тогда деформация упругого элемента была бы деформацией упругого возврата и деформация вязкого элемента не изменилась бы:

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {reversible} }={\frac {\sigma _{0}}{E}},}$

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {irreversible} }=t_{1}{\frac {\sigma _{0}}{\eta }}.}$

Модель Максвелла не показывает слизняк поскольку он моделирует деформацию как линейную функцию времени.

Если небольшое напряжение прикладывается в течение достаточно длительного времени, необратимые деформации становятся большими. Таким образом, материал Максвелла - это жидкость.

Влияние постоянной скорости деформации

Если материал Максвелла подвержен постоянной скорости деформации ${\displaystyle {\dot {\epsilon }}}$затем напряжение увеличивается, достигая постоянного значения

${\displaystyle \sigma =\eta {\dot {\epsilon }}}$

В целом

${\displaystyle \sigma (t)=\eta {\dot {\epsilon }}(1-e^{-Et/\eta })}$

Динамический модуль

Комплекс динамический модуль материала Максвелла будет:

${\displaystyle E^{*}(\omega )={\frac {1}{1/E-i/(\omega \eta )}}={\frac {E\eta ^{2}\omega ^{2}+i\omega E^{2}\eta }{\eta ^{2}\omega ^{2}+E^{2}}}}$

Таким образом, составляющими динамического модуля являются:

${\displaystyle E_{1}(\omega )={\frac {E\eta ^{2}\omega ^{2}}{\eta ^{2}\omega ^{2}+E^{2}}}={\frac {(\eta /E)^{2}\omega ^{2}}{(\eta /E)^{2}\omega ^{2}+1}}E={\frac {\tau ^{2}\omega ^{2}}{\tau ^{2}\omega ^{2}+1}}E}$

и

${\displaystyle E_{2}(\omega )={\frac {\omega E^{2}\eta }{\eta ^{2}\omega ^{2}+E^{2}}}={\frac {(\eta /E)\omega }{(\eta /E)^{2}\omega ^{2}+1}}E={\frac {\tau \omega }{\tau ^{2}\omega ^{2}+1}}E}$

Релаксационный спектр материала Максвелла

На рисунке показан релаксационный спектр материала Максвелла. Постоянная времени релаксации ${\displaystyle \tau \equiv \eta /E}$.

Синяя кривая	безразмерный модуль упругости ${\displaystyle {\frac {E_{1}}{E}}}$
Розовая кривая	безразмерный модуль потерь ${\displaystyle {\frac {E_{2}}{E}}}$
Желтая кривая	безразмерная кажущаяся вязкость ${\displaystyle {\frac {E_{2}}{\omega \eta }}}$
Ось X	безразмерная частота ${\displaystyle \omega \tau }$.

Смотрите также

• Материал бургеров
• Обобщенная модель Максвелла
• Материал Кельвина – Фойгта
• Модель Олдройд-Б
• Стандартная линейная твердотельная модель
• Модель Максвелла с верхней конвекцией

Рекомендации

1. Ройланс, Дэвид (2001). Инженерная вязкоупругость (PDF). Кембридж, Массачусетс 02139: Массачусетский технологический институт. С. 8–11.
2. Кристенсен, Р. М. (1971). Теория вязкоупругости. Лондон, W1X6BA: Academic Press. стр.16 –20.