Модель Максвелла с верхней конвекцией - Upper-convected Maxwell model

В верхнеконвективный Максвелл (ЦСМ) модель является обобщением Материал Максвелла для случая больших деформаций с помощью верхнеконвективная производная по времени. Модель была предложена Джеймс Г. Олдройд. Концепция названа в честь Джеймс Клерк Максвелл.

Модель можно записать как:

${displaystyle mathbf {T} +lambda {stackrel {abla }{mathbf {T} }}=2eta _{0}mathbf {D} }$

куда:

• ${displaystyle mathbf {T} }$ это стресс тензор;
• ${displaystyle lambda }$ время релаксации;
• ${displaystyle {stackrel {abla }{mathbf {T} }}}$ это верхнеконвективная производная по времени тензора напряжений:

${displaystyle {stackrel {abla }{mathbf {T} }}={frac {partial }{partial t}}mathbf {T} +mathbf {v} cdot abla mathbf {T} -(abla mathbf {v} )^{T}cdot mathbf {T} -mathbf {T} cdot (abla mathbf {v} )}$

• ${displaystyle mathbf {v} }$ скорость жидкости
• ${displaystyle eta _{0}}$ материал вязкость на устойчивом простой сдвиг;
• ${displaystyle mathbf {D} }$ это тензор скорости деформации.

Случай устойчивого сдвига

В этом случае только две составляющие напряжения сдвига стали отличными от нуля:

${displaystyle T_{12}=eta _{0}{dot {gamma }},}$

и

${displaystyle T_{11}=2eta _{0}lambda {dot {gamma }}^{2},}$

куда ${displaystyle {dot {gamma }}}$ - скорость сдвига.

Таким образом, модель Максвелла с конвекцией сверху предсказывает для простого сдвига, что напряжение сдвига быть пропорциональным скорости сдвига и первая разница нормальных напряжений (${displaystyle T_{11}-T_{22}}$) пропорциональна квадрату скорости сдвига, вторая разница нормальных напряжений (${displaystyle T_{22}-T_{33}}$) всегда равен нулю. Другими словами, UCM предсказывает появление первой разности нормальных напряжений, но не предсказывает неньютоновское поведение сдвиговой вязкости и второй разности нормальных напряжений.

Обычно квадратичное поведение первой разности нормальных напряжений и отсутствие второй разности нормальных напряжений является реалистичным поведением полимерных расплавов при умеренных скоростях сдвига, но постоянная вязкость нереалистична и ограничивает применимость модели.

Случай пуска установившихся сдвигов

В этом случае только две составляющие напряжения сдвига стали отличными от нуля:

${displaystyle T_{12}=eta _{0}{dot {gamma }}left(1-exp left(-{frac {t}{lambda }}ight)ight)}$

и

${displaystyle T_{11}=2eta _{0}lambda {dot {gamma }}^{2}left(1-exp left(-{frac {t}{lambda }}ight)left(1+{frac {t}{lambda }}ight)ight)}$

Приведенные выше уравнения описывают напряжения, постепенно повышающиеся от нуля до стационарных значений. Уравнение применимо только тогда, когда профиль скорости в сдвиговом потоке полностью развит. Тогда скорость сдвига будет постоянной по высоте канала. Если при запуске необходимо рассчитать распределение нулевой скорости, необходимо решить полный набор PDE.

Случай установившегося одноосного растяжения или одноосного сжатия

В этом случае UCM предсказывает нормальные напряжения ${displaystyle sigma =T_{11}-T_{22}=T_{11}-T_{33}}$ рассчитывается по следующей формуле:

${displaystyle sigma ={frac {2eta _{0}{dot {epsilon }}}{1-2lambda {dot {epsilon }}}}+{frac {eta _{0}{dot {epsilon }}}{1+lambda {dot {epsilon }}}}}$

куда ${displaystyle {dot {epsilon }}}$ - коэффициент удлинения.

Уравнение предсказывает вязкость при удлинении, приближающуюся к ${displaystyle 3eta _{0}}$ (так же, как и для Ньютоновские жидкости ) для случая малого удлинения ( ${displaystyle {dot {epsilon }}ll {frac {1}{lambda }}}$) с быстрым деформационным утолщением с установившейся вязкостью, приближающейся к бесконечности при некоторой скорости удлинения (${displaystyle {dot {epsilon }}_{infty }={frac {1}{2lambda }}}$) и при некоторой степени сжатия (${displaystyle {dot {epsilon }}_{-infty }=-{frac {1}{lambda }}}$). Такое поведение кажется реалистичным.

Случай небольшой деформации

Для случая малой деформации нелинейности, вносимые конвектированной сверху производной, исчезают, и модель становится обычной моделью Материал Максвелла.

Рекомендации

• Макоско, Кристофер (1993). Реология. Принципы, измерения и применение. Издательство ВЧ. ISBN  1-56081-579-5.