Отношение Маккамбера - McCumber relation

В Отношение Маккамбера (или теория Мак-Камбера) - это соотношение между эффективными сечениями поглощения и излучения света в физике твердотельные лазеры.^[1][2] Он назван в честь Дин МакКамбер, который предложил отношения в 1964 году.

Определение

Позволять ${displaystyle sigma _{m {a}}(omega )}$ эффективное сечение поглощения ${displaystyle sigma _{m {e}}(omega )}$ быть эффективными сечениями излучения на частоте ${displaystyle omega }$, и разреши ${displaystyle ~T~}$ - эффективная температура среды. Отношение Маккамбера

(1) ${displaystyle {frac {sigma _{m {e}}(omega )}{sigma _{m {a}}(omega )}}exp !left({frac {hbar omega }{k_{m {B}}T}}ight)=left({frac {N_{1}}{N_{2}}}ight)_{T}=exp !left({frac {hbar omega _{m {z}}}{k_{m {B}}T}}ight)}$

где ${displaystyle left({frac {N_{1}}{N_{2}}}ight)_{T}}$ - тепловое установившееся соотношение популяций; частота ${displaystyle omega _{m {z}}}$ называется частотой "нулевой линии";^[3][4]${displaystyle hbar }$ это Постоянная Планка и ${displaystyle k_{m {B}}}$ это Постоянная Больцмана. Обратите внимание, что правая часть уравнения (1) не зависит от ${displaystyle ~omega ~}$.

Усиление

Типично, что лазерные свойства среды определяются температурой и населенностью на возбужденном лазерном уровне и не зависят от метода возбуждения, используемого для ее достижения. В этом случае сечение поглощения ${displaystyle sigma _{m {a}}(omega )}$ и сечение излучения${displaystyle sigma _{m {e}}(omega )}$ с частотой ${displaystyle ~omega ~}$ можно отнести к лазерам усиление таким образом, что усиление на этой частоте можно определить так:

(2) ${displaystyle ~~~~~~~~~~~~~~~G(omega )=N_{2}sigma _{m {e}}(omega )-N_{1}sigma _{m {a}}(omega )}$

Д.Э. Маккамбер постулировал эти свойства и обнаружил, что сечения излучения и поглощения не являются независимыми;^[1][2] они связаны с уравнением (1).

Идеализированные атомы

В случае идеализированного двухуровневый атом то подробный баланс для выброс и поглощение который сохраняет Планк формула для излучение черного тела приводит к равенству сечений поглощения и излучения. В твердотельных лазерах расщепление каждого из лазерных уровней приводит к уширению, значительно превышающему естественная спектральная ширина линии. В случае идеального двухуровневого атома произведение ширины линии и времени жизни имеет порядок единицы, что соответствует условию Принцип неопределенности Гейзенберга. В материалах твердотельных лазеров ширина линии на несколько порядков больше, поэтому спектры излучения и поглощения определяются распределением возбуждения между подуровнями, а не формой спектральной линии каждого отдельного перехода между подуровнями. Это распределение определяется эффективной температурой внутри каждого из лазерных уровней. Гипотеза Маккамбера состоит в том, что распределение возбуждения по подуровням является тепловым. Эффективная температура определяет спектры излучения и поглощения ( эффективная температура называется температура учеными, даже если возбужденная среда в целом довольно далека от теплового состояния)

Вывод отношения Маккамера

Рисунок 1. Эскиз подуровней

Рассмотрим множество активных центров (рис.1.). Предположим быстрый переход между подуровнями в пределах каждого уровня и медленный переход между уровнями. Согласно гипотезе Мак-Камбера, сечения ${displaystyle sigma _{m {a}}}$ и ${displaystyle sigma _{m {e}}}$ не зависят от населения ${displaystyle N_{1}}$ и ${displaystyle N_{2}}$Таким образом, мы можем вывести соотношение, предполагая тепловое состояние.

Позволять ${displaystyle ~v(omega )~}$ - групповая скорость света в среде, произведение ${displaystyle ~n_{2}sigma _{m {e}}(omega )v(omega )D(omega )~}$ спектральная скорость стимулированное излучение, и ${displaystyle ~n_{1}sigma _{m {a}}(omega )v(omega )D(omega )~}$ это поглощение; ${displaystyle a(omega )n_{2}}$ спектральная скорость спонтанное излучение. (Обратите внимание, что в этом приближении нет такой вещи, как спонтанное поглощение). Баланс фотонов дает:

(3) ${displaystyle ~~~n_{2}sigma _{m {e}}(omega )v(omega )D(omega )+n_{2}a(omega )=n_{1}sigma _{m {a}}(omega )v(omega )D(omega )~~~~~~~~~~~~~~~{m {(balance)}}}$

Что можно переписать как

(4) ${displaystyle ~~~D(omega )={frac {frac {a(omega )}{sigma _{m {e}}(omega )v(omega )}}{{frac {n_{1}}{n_{2}}}{frac {sigma _{m {a}}(omega )}{sigma _{m {e}}(omega )}}-1}}~~~~~~~~~~~~~~{m {(D1)}}}$

Тепловое распределение плотности фотонов следует из излучения абсолютно черного тела. ^[5]

(5) ${displaystyle ~~~D(omega )~=~{frac {{frac {1}{pi ^{2}}}{frac {omega ^{2}}{c^{3}}}}{exp !left({frac {hbar omega }{k_{m {B}}T}}ight)-1}}~~~~~{m {(D2)}}}$

И (4), и (5) верны для всех частот. ${displaystyle ~omega ~}$. В случае идеализированных двухуровневых активных центров ${displaystyle ~sigma _{m {a}}(omega )=sigma _{m {e}}(omega )~}$, и ${displaystyle ~n_{1}/n_{2}=exp !left({frac {hbar omega }{k_{m {B}}T}}ight)}$, что приводит к соотношению спектральной скорости спонтанного излучения ${displaystyle a(omega )}$ и сечение излучения ${displaystyle ~sigma _{m {e}}(omega )~}$.^[5] (Мы соблюдаем срок вероятность выброса для количества ${displaystyle ~a(omega ){m {d}}omega {m {d}}t~}$, представляющая собой вероятность испускания фотона в малом спектральном интервале ${displaystyle ~(omega ,omega +{m {d}}omega )~}$ за короткий промежуток времени ${displaystyle ~(t,t+{m {d}}t)~}$, предполагая, что во время ${displaystyle ~t~}$ атом возбужден.) Соотношение (D2) является фундаментальным свойством спонтанного и вынужденного излучения и, возможно, единственным способом запретить самопроизвольное нарушение теплового равновесия в тепловом состоянии возбуждений и фотонов.

Для каждого номера сайта ${displaystyle ~s~}$, для каждого номера подуровня ${displaystyle j}$, частичная спектральная вероятность излучения ${displaystyle ~a_{s,j}(omega )~}$ можно выразить из рассмотрения идеализированных двухуровневых атомов:^[5]

(6) ${displaystyle ~~~a_{s,j}(omega )=sigma _{s,j}(omega ){frac {omega ^{2}v(omega )}{pi ^{2}c^{3}}}~~.~~~~~~~~~~~~~~~~{m {comparison1}}~~{m {partial}}}$

Если пренебречь кооперативными когерентными эффектами, излучение является аддитивным: для любой концентрации ${displaystyle ~q_{s}~}$ сайтов и для любого частичного заполнения ${displaystyle ~n_{s,j}~}$ подуровней, одинаковая пропорциональность между ${displaystyle ~a~}$ и ${displaystyle ~sigma _{m {e}}~}$ справедливо для эффективных сечений:

(7) ${displaystyle {frac {a(omega )}{sigma _{m {e}}(omega )}}={frac {omega ^{2}v(omega )}{pi ^{2}c^{3}}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~({m {comparison)(av)}}}$

Тогда сравнение (D1) и (D2) дает соотношение

(8) ${displaystyle {frac {n_{1}}{n_{2}}}{frac {sigma _{m {a}}(omega )}{sigma _{m {e}}(omega )}}=exp !left({frac {hbar omega }{k_{m {B}}T}}ight)~~.~~~~~~~~{m {(n1n2)(mc1)}}}$

Это соотношение эквивалентно соотношению Маккамбера (mc), если мы определим частоту нулевой линии ${displaystyle omega _{Z}}$ как решение уравнения

(9) ${displaystyle ~left({frac {n_{1}}{n_{2}}}ight)_{!T}=exp !left({frac {hbar omega _{m {Z}}}{k_{m {B}}T}}ight)~~~~,~~~}$

нижний индекс ${displaystyle ~T~}$ указывает на то, что соотношение популяций оценивается в тепловом состоянии. Частоту нулевой линии можно выразить как

(10) ${displaystyle omega _{m {Z}}={frac {k_{m {B}}T}{hbar }}ln left({frac {n_{1}}{n_{2}}}ight)_{T}~~~~~~~~~~~~~~~~.~~{({m {oz)}}}}$

Тогда (n1n2) становится эквивалентным соотношению Маккамера (mc).

Никаких особых свойств подуровней активной среды для соблюдения соотношения Маккамбера не требуется. Это следует из предположения о быстрой передаче энергии между возбужденными лазерными уровнями и между нижними лазерными уровнями. Соотношение Маккамера (mc) имеет тот же диапазон применимости, что и сама концепция сечения эмиссии.

Подтверждение соотношения Маккамбера.

Соотношение Маккамбера подтверждается для различных СМИ.^[6][7]В частности, соотношение (1) позволяет аппроксимировать две функции частоты, сечения излучения и поглощения с помощью однократной аппроксимации.^[8]

Нарушение отношения Маккамера и вечного двигателя

Рис 2. Поперечные сечения для Yb: Gd₂SiO₅ против ${displaystyle lambda ={frac {2pi c}{omega }}}$

В 2006 г. наблюдалось сильное нарушение соотношения Маккамера для Yb: Gd.₂SiO₅ и опубликованы в 3 независимых журналах.^[9][10][11] Типичное поведение представленных сечений показано на рисунке 2 жирными кривыми. Сечение излучения практически равно нулю на длине волны 975 нм; это свойство делает Yb: Gd₂SiO₅ отличный материал для эффективных твердотельные лазеры.

Однако указанное свойство (толстые кривые) несовместимо с второй закон термодинамики. С таким материалом вечное движение устройство было бы возможно. Достаточно заполнить коробку с отражающими стенками Yb: Gd.₂SiO₅ и позволить ему обмениваться излучением с черное тело через спектрально-селективное окно, прозрачное около 975 нм и отражающее на других длинах волн. Из-за отсутствия излучательной способности при 975 нм среда должна нагреваться, нарушая тепловое равновесие.

На основе второго закона термодинамики экспериментальные результаты ^[9][10][11] были опровергнуты в 2007 году. В рамках теории Мак-Камбера была предложена поправка на эффективное сечение излучения (черная тонкая кривая).^[3]Затем эта поправка была подтверждена экспериментально.^[12]

использованная литература

1. Д. Э. Маккамбер. Соотношения Эйнштейна, связывающие широкополосные спектры излучения и поглощения. PRB 136 (4А), 954–957 (1964).
2. П. К. Беккер, Н. А. Олсон, Дж. Р. Симпсон. Волоконные усилители, легированные эрбием: основы и теория (Академический, 1999).
3. Д. Кузнецов (2007). "Комментарий к Эффективному Yb: Gd с диодной накачкой.₂SiO₅ лазер (Appl.Phys.Lett.88,221117 (2006)) ". APL. 90: 066101.
4. Д.Кузнецов (2007). «Широкополосные лазерные материалы и соотношение Маккамера». Китайские буквы оптики. 5: S240 – S242. Архивировано из оригинал (– ^{Академический поиск}) 28 сентября 2007 г.
5. e2
6. Р.С. Куимби (2002). «Диапазон применимости теории Мак-Камбера в отношении сечения поглощения и испускания». J. Appl. Phys. 92 (1): 180–187. Bibcode:2002JAP .... 92..180Q. Дои:10.1063/1.1485112.
7. Р. М. Мартин; Р.С. Куимби (2006). «Экспериментальное доказательство справедливости теории Мак-Камбера, связывающей излучение и поглощение для редкоземельных стекол». JOSA B. 23 (9): 1770–1775. Bibcode:2006JOSAB..23.1770M. Дои:10.1364 / JOSAB.23.001770.
8. Д.Кузнецов; Ж.-Ф. Биссон; К. Такаичи; К.Уэда (2005). «Одномодовый твердотельный лазер с коротким широким нестабильным резонатором». JOSA B. 22 (8): 1605–1619. Bibcode:2005JOSAB..22.1605K. Дои:10.1364 / JOSAB.22.001605.
9. В. Ли; Х. Пан; Л. Дин; Х. Цзэн; и другие. (2006). «Эффективный Yb: Gd с диодной накачкой₂SiO₅ лазер ". APL. 88: 221117.
10. W.Li; H.Pan; L.Ding; H.Zeng; и другие. (2006). "Непрерывная волна с диодной накачкой и пассивной синхронизацией мод Yb: Gd₂SiO₅лазер ". Оптика Экспресс. 14 (2): 686–695. Bibcode:2006OExpr..14..686L. Дои:10.1364 / OPEX.14.000686. PMID  19503386.
11. C.Yan; Г. Чжао; Л. Чжан; J.Xu; и другие. (2006). "Новый лазерный кристалл оксиортосиликата, легированного Yb: Yb: Gd₂SiO₅". Твердотельные коммуникации. 137 (8): 451–455. Bibcode:2006SSCom.137..451Y. Дои:10.1016 / j.ssc.2005.12.023.^{[мертвая ссылка ]}
12. Г. Чжао; L.Su; J.Xua; Х. Цзэн (2007). "Ответ на Комментарий к Эффективному Yb: Gd с диодной накачкой₂SiO₅ лазер (Appl. Phys. Lett. 90, 066101 2007)". APL. 90: 066103.