Многочлены Мейкснера – Поллачека - Meixner–Pollaczek polynomials

Не путать с Полиномы Мейкснера.

В математике Многочлены Мейкснера – Поллачека семья ортогональные многочлены п^(λ)
_п(Икс, φ), введенные Meixner  (1934 ), которые с точностью до элементарных замен переменных совпадают с Полиномы Поллачека п^λ
_п(Икс,а,б) заново открыт Поллачек  (1949 ) в случае λ = 1/2, а затем обобщенное им.

Они определены

${\displaystyle P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )={\frac {(2\lambda )_{n}}{n!}}e^{in\phi }{}_{2}F_{1}\left({\begin{array}{c}-n,~\lambda +ix\\2\lambda \end{array}};1-e^{-2i\phi }\right)}$

${\displaystyle P_{n}^{\lambda }(\cos \phi ;a,b)={\frac {(2\lambda )_{n}}{n!}}e^{in\phi }{}_{2}F_{1}\left({\begin{array}{c}-n,~\lambda +i(a\cos \phi +b)/\sin \phi \\2\lambda \end{array}};1-e^{-2i\phi }\right)}$

Примеры

Первые несколько полиномов Мейкснера – Поллачека:

${\displaystyle P_{0}^{(\lambda )}(x;\phi )=1}$

${\displaystyle P_{1}^{(\lambda )}(x;\phi )=2(\lambda \cos \phi +x\sin \phi )}$

${\displaystyle P_{2}^{(\lambda )}(x;\phi )=x^{2}+\lambda ^{2}+(\lambda ^{2}+\lambda -x^{2})\cos(2\phi )+(1+2\lambda )x\sin(2\phi ).}$

Характеристики

Ортогональность

Многочлены Мейкснера – Поллачека. п_м^(λ)(Икс; φ) ортогональны на прямой относительно весовой функции

${\displaystyle w(x;\lambda ,\phi )=|\Gamma (\lambda +ix)|^{2}e^{(2\phi -\pi )x}}$

а отношение ортогональности определяется выражением^[1]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )P_{m}^{(\lambda )}(x;\phi )w(x;\lambda ,\phi )dx={\frac {2\pi \Gamma (n+2\lambda )}{(2\sin \phi )^{2\lambda }n!}}\delta _{mn},\quad \lambda >0,\quad 0<\phi <\pi .}$

Отношение рецидива

Последовательность полиномов Мейкснера – Поллачека удовлетворяет рекуррентному соотношению^[2]

${\displaystyle (n+1)P_{n+1}^{(\lambda )}(x;\phi )=2{\bigl (}x\sin \phi +(n+\lambda )\cos \phi {\bigr )}P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )-(n+2\lambda -1)P_{n-1}(x;\phi ).}$

Формула Родригеса

Многочлены Мейкснера – Поллачека задаются формулой, подобной Родригесу^[3]

${\displaystyle P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )={\frac {(-1)^{n}}{n!\,w(x;\lambda ,\phi )}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}w\left(x;\lambda +{\tfrac {1}{2}}n,\phi \right),}$

куда ш(Икс; λ, φ) - указанная выше весовая функция.

Производящая функция

Полиномы Мейкснера – Поллачека имеют производящую функцию^[4]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )=(1-e^{i\phi }t)^{-\lambda +ix}(1-e^{-i\phi }t)^{-\lambda -ix}.}$

Смотрите также

• Просеянные полиномы Поллачека

Рекомендации

1. Коэкоек, Лески и Сварттоу (2010), стр. 213.
2. Коэкоек, Лески и Сварттоу (2010), стр. 213.
3. Коэкоек, Лески и Сварттоу (2010), стр. 214.
4. Коэкоек, Лески и Сварттоу (2010), стр. 215.

• Коэкоек, Рулоф; Лески, Питер А .; Сварттоу, Рене Ф. (2010), Гипергеометрические ортогональные многочлены и их q-аналоги, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN  978-3-642-05013-8, МИСТЕР  2656096
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S.C .; Коэкоек, Рулоф; Сварттоу, Рене Ф. (2010), «Полиномы Поллачека», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
• Meixner, J. (1934), "Orthogonale Polynomsysteme Mit Einer Besonderen Gestalt Der Erzeugenden Funktion", J. London Math. Soc., s1-9: 6–13, Дои:10.1112 / jlms / s1-9.1.6
• Поллачек, Феликс (1949), "Sur une généralisation des polynomes de Legendre", Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 228: 1363–1365, МИСТЕР  0030037