Метрическое пространство, направленное на его подпространство - Metric space aimed at its subspace - Wikipedia

В математика, а метрическое пространство, направленное на его подпространство это категоричный конструкция, имеющая прямое геометрическое значение. Это также полезный шаг к построению метрический конверт, или же тесный промежуток, которые являются базовыми (инъективными) объектами категории метрические пространства.

Следующий (Гольштынский 1966 ), понятие метрического пространства Y нацелен на его подпространство Икс определено.

Неформальное введение

Неформально представьте себе местность Y, и его часть Икс, так что где бы в Y вы ставите снайпера, а яблоко в другое место в Y, а затем позвольте снайперу выстрелить, пуля пройдет сквозь яблоко и всегда попадет в точку Икс, или, по крайней мере, он будет лететь сколь угодно близко к точкам Икс - тогда мы говорим, что Y направлен на Икс.

Априори может показаться правдоподобным, что для данного Икс суперпространства Y которые направлены на Икс может быть сколь угодно большим или хотя бы огромным. Мы увидим, что это не так. Среди пространств, стремящихся к подпространству, изометричному Икс, есть уникальный (вплоть до изометрия ) универсальный один, цель (Икс), что в смысле канонической изометрические вложения содержит любое другое пространство, нацеленное на (изометрическое изображение) Икс. А в частном случае произвольного компактного метрического пространства Икс каждое ограниченное подпространство произвольного метрического пространства Y направленный на Икс является полностью ограниченный (т.е. его метрическое пополнение компактно).

Определения

Позволять ${\displaystyle (Y,d)}$ - метрическое пространство. Позволять ${\displaystyle X}$ быть подмножеством ${\displaystyle Y}$, так что ${\displaystyle (X,d|_{X})}$ (набор ${\displaystyle X}$ с метрикой из ${\displaystyle Y}$ ограниченный ${\displaystyle X}$) - метрическое подпространство ${\displaystyle (Y,d)}$. потом

Определение. Космос ${\displaystyle Y}$ прицел на ${\displaystyle X}$ тогда и только тогда, для всех точек ${\displaystyle y,z}$ из ${\displaystyle Y}$, и для каждого реального ${\displaystyle \epsilon >0}$, существует точка ${\displaystyle p}$ из ${\displaystyle X}$ такой, что

${\displaystyle |d(p,y)-d(p,z)|>d(y,z)-\epsilon .}$

Позволять ${\displaystyle {\text{Met}}(X)}$ быть пространством всех реальных ценностей метрические карты (несжимающий ) из ${\displaystyle X}$. Определять

${\displaystyle {\text{Aim}}(X):=\{f\in \operatorname {Met} (X):f(p)+f(q)\geq d(p,q){\text{ for all }}p,q\in X\}.}$

потом

${\displaystyle d(f,g):=\sup _{x\in X}|f(x)-g(x)|<\infty }$

для каждого ${\displaystyle f,g\in {\text{Aim}}(X)}$ это метрика на ${\displaystyle {\text{Aim}}(X)}$. Более того, ${\displaystyle \delta _{X}\colon x\mapsto d_{x}}$, куда ${\displaystyle d_{x}(p):=d(x,p)\,}$, является изометрическим вложением ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle \operatorname {Aim} (X)}$; по сути, это обобщение вложения Куратовского-Войдыславского ограниченных метрических пространств. ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle C(X)}$, где мы рассматриваем здесь произвольные метрические пространства (ограниченные или неограниченные). Понятно, что пространство ${\displaystyle \operatorname {Aim} (X)}$ направлен на ${\displaystyle \delta _{X}(X)}$.

Характеристики

Позволять ${\displaystyle i\colon X\to Y}$ - изометрическое вложение. Тогда существует естественное метрическое отображение ${\displaystyle j\colon Y\to \operatorname {Aim} (X)}$ такой, что ${\displaystyle j\circ i=\delta _{X}}$:

${\displaystyle (j(y))(x):=d(x,y)\,}$

для каждого ${\displaystyle x\in X\,}$ и ${\displaystyle y\in Y\,}$.

Теорема Космос Y выше нацелено на подпространство Икс тогда и только тогда, когда естественное отображение ${\displaystyle j\colon Y\to \operatorname {Aim} (X)}$ является изометрическим вложением.

Отсюда следует, что каждое пространство, направленное на Икс может быть изометрически отображен в Aim (X) при соблюдении некоторых дополнительных (существенных) категориальных требований.

Пространство Aim (X) есть инъективный (гипервыпуклый в смысле Ароншайн -Panitchpakdi) - дано метрическое пространство М, которое содержит Aim (X) в качестве метрического подпространства, существует каноническая (и явная) метрическая ретракция M на Цель (X) (Гольштынский 1966 ).

Рекомендации

• Holsztyński, W. (1966), "О метрических пространствах, направленных на их подпространства", Prace Mat., 10: 95–100, МИСТЕР  0196709