Метрическая карта - Metric map

в математический теория метрические пространства, а метрическая карта это функция между метрическими пространствами, которые не увеличивают расстояние (такие функции всегда непрерывный Эти карты являются морфизмы в категория метрических пространств, Встретились (Isbell 1964), их еще называют Липшицевы функции с Постоянная Липшица 1, нерасширяемые карты, нерасширяющиеся карты, слабые схватки, или же короткие карты.

В частности, предположим, что Икс и Y метрические пространства и ƒ функция из Икс к Y. Таким образом, у нас есть метрическая карта, когда, для любого точки Икс и у в Икс,

${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))\leq d_{X}(x,y).\!}$

Здесь d_Икс и d_Y обозначим метрики на Икс и Y соответственно.

Примеры

^{[пример необходим ]}

Категория метрических карт

В составной метрических карт также является метрической картой, а карта идентичности я бы_M : M → M на метрическом пространстве M - это метрическая карта. Таким образом, метрические пространства вместе с метрическими отображениями образуют категория Встретились. Встретились это подкатегория категории метрических пространств и липшицевых функций. Отображение ƒ между метрическими пространствами есть изометрия если и только если это биективный метрическая карта, чья обратный также является метрической картой. Таким образом изоморфизмы в Встретились в точности изометрии.

Строго метрические карты

Можно сказать, что ƒ строго метрический если неравенство строго для каждых двух разных точек. Таким образом сжатие карт строго метрический, но не обязательно наоборот. Обратите внимание, что изометрия никогда строго метрические, за исключением выродиться случай пустое пространство или одноточечное пространство.

Многозначная версия

Отображение ${\displaystyle T:X\to {\mathcal {N}}(X)}$ из метрического пространства Икс к семейству непустых подмножеств Икс называется липшицевым, если существует ${\displaystyle L\geq 0}$ такой, что

${\displaystyle H(Tx,Ty)\leq Ld(x,y),}$

для всех ${\displaystyle x,y\in X}$, где ЧАС это Расстояние Хаусдорфа. Когда ${\displaystyle L=1}$, Т называется нерасширяющий и когда ${\displaystyle L<1}$, Т называется сокращение.

Смотрите также

• Фактор растяжения
• Карта субподряда

Рекомендации

• Исбелл, Дж. Р. (1964). «Шесть теорем об инъективных метрических пространствах». Комментарий. Математика. Helv. 39: 65–76. Дои:10.1007 / BF02566944.