Набор Мейера - Meyer set

В математике Набор Мейера или же почти решетка это набор относительно плотный Икс очков в Евклидова плоскость или многомерный Евклидово пространство так что его Разница Минковского сам с собой равномерно дискретный. Множества Мейера имеют несколько эквивалентных характеристик; они названы в честь Ив Мейер, который ввел и изучил их в контексте диофантова приближения. В настоящее время множества Мейера наиболее известны как математическая модель для квазикристаллы. Однако работа Мейера предшествовала открытию квазикристаллов более чем на десять лет и была полностью мотивирована вопросами теории чисел. ^[1][2]

Определение и характеристики

Подмножество Икс из метрическое пространство относительно плотно, если существует число р так что все точки Икс находятся на расстоянии р из Икс, и равномерно дискретно, если существует число ε такой, что нет двух точек Икс находятся на расстоянии ε друг друга. Множество, которое одновременно является относительно плотным и равномерно дискретным, называется Набор Delone. Когда Икс является подмножеством векторное пространство, это Разница Минковского Икс − Икс это множество {Икс − у | Икс, у вИкс} разностей пар элементов Икс.^[3]

С этими определениями множество Мейера может быть определено как относительно плотное множество Икс для которого Икс − Икс равномерно дискретна. Аналогично, это набор Делоне, для которого Икс − Икс Делоне,^[1] или набор Делоне Икс для которого существует конечное множество F с Икс − Икс ⊂ Икс + F^[4]

Некоторые дополнительные эквивалентные характеристики включают набор

${\displaystyle X^{\epsilon }=\{y\mid |x\cdot y-1|\leq \varepsilon {\text{ for all }}x\in X\}}$

определены для данного Икс и ε, и аппроксимирующая (как ε стремится к нулю) определение обратная решетка из решетка. Относительно плотный набор Икс является множеством Мейера тогда и только тогда, когда

• Для всех ε > 0, Икс^ε относительно плотный, или что то же самое
• Существует ε с 0 <ε <1/2, для которого Икс^ε относительно плотный.^[1]

А персонаж аддитивно замкнутого подмножества векторного пространства - это функция, которая отображает множество в единичную окружность в плоскости сложные числа, так что сумма любых двух элементов отображается на произведение их изображений. Множество Икс это гармоничный набор если для каждого персонажа χ об аддитивном закрытии Икс и каждый ε > 0 существует непрерывный характер на всем пространстве, который ε-приблизительно χ. Тогда относительно плотный набор Икс является множеством Мейера тогда и только тогда, когда оно гармонично.^[1]

Примеры

Наборы Мейера включают

• Очки любого решетка
• Вершины любого ромбического Плитка Пенроуза^[5]
• В Сумма Минковского другого набора Мейера с любыми непустыми конечный набор^[4]
• Любое относительно плотное подмножество другого множества Мейера^[6]

Рекомендации

1. Муди, Роберт В. (1997), «Множества Мейера и их двойники», Математика дальнего апериодического порядка (Waterloo, ON, 1995), Институты перспективных наук НАТО, серия C: математические и физические науки, 489, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, стр. 403–441, МИСТЕР  1460032.
2. Лагариас, Дж. К. (1996), «Концепция Мейера квазикристаллических и квазирегулярных множеств», Коммуникации по математической физике, 179 (2): 365–376, Дои:10.1007 / bf02102593, МИСТЕР  1400744.
3. Муди дает различные определения относительной плотности и равномерной дискретности, специализированные для локально компактных групп, но отмечает, что эти определения совпадают с обычными для вещественных векторных пространств.
4. Муди (1997), Раздел 7.
5. Муди (1997), Раздел 3.2.
6. Муди (1997), Следствие 6.7.