Дзета-функция Минакшисундарама – Плейжеля - Minakshisundaram–Pleijel zeta function

В Дзета-функция Минакшисундарама – Плейжеля это дзета-функция кодирование собственных значений Лапласиан из компактный Риманово многообразие. Он был представлен Суббарамия Минакшисундарам и Оке Плейель  (1949 ). Случай компактной области плоскости рассматривался ранее Торстеном Карлеманом (1935 ).

Определение

Для компактного риманова многообразия M измерения N с собственными значениями ${displaystyle lambda _{1},lambda _{2},ldots }$ из Оператор Лапласа – Бельтрами ${displaystyle Delta }$, дзета-функция дана для ${displaystyle operatorname {Re} (s)}$ достаточно большой

${displaystyle Z(s)=operatorname {Tr} (Delta ^{-s})=sum _{n=1}^{infty }vert lambda _{n}vert ^{-s}.}$

(где, если собственное значение равно нулю, оно опускается в сумме). У многообразия может быть граница, и в этом случае необходимо задать подходящие граничные условия, такие как Дирихле или же Граничные условия Неймана.

В более общем плане можно определить

${displaystyle Z(P,Q,s)=sum _{n=1}^{infty }{frac {f_{n}(P)f_{n}(Q)}{lambda _{n}^{s}}}}$

за п и Q на многообразии, где ${displaystyle f_{n}}$ - нормированные собственные функции. Это можно аналитически продолжить до мероморфной функции от s для всего комплекса s, и голоморфна при ${displaystyle Peq Q}$.

Единственно возможные полюса - это простые полюса в точках. ${displaystyle s=N/2,N/2-1,N/2-2,dots ,1/2,-1/2,-3/2,dots }$ за N нечетные, а по точкам ${displaystyle s=N/2,N/2-1,N/2-2,dots ,2,1}$ за N четное. Если N странно тогда ${displaystyle Z(P,P,s)}$ исчезает в ${displaystyle s=0,-1,-2,dots }$. Если N четно, вычеты в полюсах можно явно найти в терминах метрики, а Теорема Винера – Икехары мы находим как следствие соотношение

${displaystyle sum _{lambda _{n}<T}f_{n}(P)^{2}sim {frac {T^{N/2}}{(2{sqrt {pi }})^{N}Gamma (N/2+1)}}}$,

где символ ${displaystyle sim }$ указывает, что частное обеих сторон стремится к 1, когда T стремится к ${displaystyle +infty }$.^[1]

Функция ${displaystyle Z(s)}$ можно восстановить из ${displaystyle Z(P,P,s)}$ интегрированием по всему многообразию M:

${displaystyle displaystyle Z(s)=int _{M}Z(P,P,s)dP}$.

Тепловое ядро

Аналитическое продолжение дзета-функции можно найти, выразив ее через тепловое ядро

${displaystyle K(P,Q,t)=sum _{n=1}^{infty }f_{n}(P)f_{n}(Q)e^{-lambda _{n}t}}$

как Преобразование Меллина

${displaystyle Z(P,Q,s)={frac {1}{Gamma (s)}}int _{0}^{infty }K(P,Q,t)t^{s-1}dt}$

В частности, у нас есть

${displaystyle Z(s)={frac {1}{Gamma (s)}}int _{0}^{infty }K(t)t^{s-1}dt}$

куда

${displaystyle K(t)=int _{M}K(P,P,t)dP=sum _{i=1}^{infty }e^{-lambda _{i}t}}$

- след теплового ядра.

Полюса дзета-функции можно найти из асимптотики теплового ядра как т→0.

Пример

Если многообразие представляет собой круг размерности N= 1, то собственные значения лапласиана равны п² для целых чисел п. Дзета-функция

${displaystyle Z(s)=sum _{neq 0}{frac {1}{(n^{2})^{s}}}=2zeta (2s)}$

где ζ - Дзета-функция Римана.

Приложения

Применяя метод теплового ядра к асимптотическому разложению риманова многообразия (M, g), получаем две следующие теоремы. Оба являются решениями обратной задачи, в которой мы получаем геометрические свойства или величины из спектров операторов.

1) Асимптотическое разложение Минакшисундарама – Плейжеля.

Пусть (M, g) - п-мерное риманово многообразие. Тогда как т→ 0 +, след теплового ядра имеет асимптотическое разложение вида:

${displaystyle K(t)sim (4pi t)^{-n/2}sum _{m=0}^{infty }a_{m}t^{m}.}$

При dim = 2 это означает, что интеграл от скалярная кривизна сообщает нам Эйлерова характеристика М, Теорема Гаусса – Бонне.

Особенно,

${displaystyle a_{0}=operatorname {Vol} (M,g), a_{1}={frac {1}{6}}int _{M}S(x)dV}$

где S (x) - скалярная кривизна, след Кривизна Риччи, на М.

2) Асимптотическая формула Вейля. Пусть M - компактное риманово многообразие с собственными значениями${displaystyle 0=lambda _{0}leq lambda _{1}leq lambda _{2}cdots ,}$с каждым отдельным собственным значением, повторяющимся со своей кратностью. Определим N (λ) как количество собственных значений, меньших или равных ${displaystyle lambda }$, и разреши ${displaystyle omega _{n}}$ обозначают объем единичного диска в ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$. потом

${displaystyle N(lambda )sim {frac {omega _{n}operatorname {Vol} (M)lambda ^{n/2}}{(2pi )^{n}}},}$

в качестве ${displaystyle lambda o infty }$. Кроме того, как ${displaystyle k o infty }$,

${displaystyle (lambda _{k})^{n/2}sim {frac {(2pi )^{n}k}{omega _{n}operatorname {Vol} (M)}}.}$

Это также называется Закон Вейля, уточненные из асимптотического разложения Минакшисундарама – Плейеля.

Рекомендации

1. Минакшисундарам, Суббарамия; Плейель, Оке (1949). «Некоторые свойства собственных функций оператора Лапласа на римановых многообразиях». Канадский математический журнал. 1: 242–256. Дои:10.4153 / CJM-1949-021-5. ISSN  0008-414X. МИСТЕР  0031145. Архивировано из оригинал на 2012-03-20. Получено 2011-02-12.

• Бергер, Марсель; Годюшон, Поль; Мазе, Эдмонд (1971), Le Spectre d'une Variété riemannienne, Конспект лекций по математике, 194, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0064643, МИСТЕР  0282313
• Карлеман, Торстен (1935), "Propriétés asymptotiques des fonctions fondamentales desmbranes vibrantes"., 8. Сканд. Мат.-Конгр. (на французском языке): 34–44, Zbl  0012.07001