Дзета-функция (оператор) - Zeta function (operator)

В дзета-функция математического оператор ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ функция, определяемая как

${\displaystyle \zeta _{\mathcal {O}}(s)=\operatorname {tr} \;{\mathcal {O}}^{-s}}$

для этих значений s где это выражение существует, и как аналитическое продолжение этой функции для других значений s. Здесь «tr» обозначает функционал след.

Дзета-функцию также можно выразить как спектральная дзета-функция^[1] с точки зрения собственные значения ${\displaystyle \lambda _{i}}$ оператора ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ к

${\displaystyle \zeta _{\mathcal {O}}(s)=\sum _{i}\lambda _{i}^{-s}}$.

Он используется для того, чтобы дать строгое определение функциональный детерминант оператора, который задается

${\displaystyle \det {\mathcal {O}}:=e^{-\zeta '_{\mathcal {O}}(0)}\;.}$

В Дзета-функция Минакшисундарама – Плейжеля является примером, когда оператор является лапласианом компактного риманова многообразия.

Одна из самых важных мотиваций для Теория аракелова - дзета-функции для операторов с методом нагревать ядра обобщенно алгебро-геометрически.^[2]

Рекомендации

1. Lapidus & van Frankenhuijsen (2006) стр.23.
2. Soulé, C .; при участии Д. Абрамовича, Ж.-Ф. Бурнол и Дж. Крамер (1992), Лекции по геометрии Аракелова, Кембриджские исследования по высшей математике, 33, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. Viii + 177, ISBN  0-521-41669-8, МИСТЕР  1208731

• Lapidus, Michel L .; ван Франкенхейсен, Machiel (2006), Фрактальная геометрия, сложные измерения и дзета-функции. Геометрия и спектры фрактальных струн, Springer Monographs in Mathematics, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  0-387-33285-5, Zbl  1119.28005
• Фурсаев Дмитрий; Василевич, Дмитрий (2011), Операторы, геометрия и кванты: методы спектральной геометрии в квантовой теории поля, Теоретическая и математическая физика, Springer-Verlag, п. 98, ISBN  94-007-0204-3