Смешанное граничное условие - Mixed boundary condition

Зеленый: граничное условие Неймана; фиолетовый: граничное условие Дирихле.

В математика, а смешанное граничное условие для уравнение в частных производных определяет краевая задача в котором решение данного уравнения должно удовлетворять различным граничные условия на непересекающийся части граница из домен где указано условие. А именно, в смешанной краевой задаче требуется, чтобы решение удовлетворяло Дирихле или Граничное условие Неймана взаимоисключающим образом на непересекающихся частях границы.

Например, учитывая решение $ты$ к дифференциальному уравнению в частных производных в области $Ω$ с границей $\partialΩ$ , говорят, что он удовлетворяет смешанному граничному условию, если, состоящее из $\partialΩ$ из двух непересекающихся частей, $Γ 1$ и $Γ 2$ , так что $\partialΩ = Γ 1 \cup Γ 2$ , $ты$ проверяет следующие уравнения:

{ Displaystyle left.u right | _ { Gamma _ {1}} = u_ {0}}

и

{ displaystyle left. { frac { partial u} { partial n}} right | _ { Gamma _ {2}} = g,}

где $ты 0$ и $г$ заданы функции, определенные на этих участках границы.^[1]

Смешанное граничное условие отличается от Граничное условие Робина в том, что последнее требует линейная комбинация, возможно, с точечно переменные коэффициенты граничных условий Дирихле и Неймана, которые должны выполняться на всей границе данной области.

Историческая справка

Г-н Виртингер, dans une talk privée, a attiré mon Внимание sur le проблема suivant: детерминант функции $ты$ проверка уравнения Лапласа в определенной области ( $D$ ) étant donné, sur une partie ( $S$ ) de la frontière, les valeurs périphériques de la fonction requireée et, sur le reste ( $S '$ ) de la frontière du domaine considéré, celles de la dérivée suivant la normale. Я предлагаю de faire connaitre une решение très générale de cet intéressant problème.^[2]
— Станислав Заремба, (Заремба 1910, § 1, с. 313).

Первая краевая задача, удовлетворяющая смешанному краевому условию, решалась методом Станислав Заремба для Уравнение лапласа: по его словам, это было Вильгельм Виртингер который предложил ему изучить эту проблему.^[3]

Смотрите также

Заметки

^ Очевидно, что требовать $ты 0$ и $г$ быть функциями: они могут быть распределения или любой другой вид обобщенные функции.
^ (Английский перевод) "Мистер Виртингер во время частной беседы обратил мое внимание на следующую проблему: определить одну функцию $ты$ удовлетворяющее уравнению Лапласа в некоторой области ( $D$ ) дается, со стороны ( $S$ ) ее границы периферийные значения искомой функции, а на остальной части ( $S '$ ) рассматриваемой области, производные по нормали. Я стремлюсь дать очень общее решение этой интересной проблемы ".
^ Увидеть (Заремба 1910, § 1, с. 313).

использованная литература

Фичера, Гаэтано (1949), "Analisi esistenziale per le soluzioni dei problemi al contorno misti, relativi all'equazione e ai sistemi di equazioni del secondo ordine di tipo ellittico, autoaggiunti", Annali della Scuola Normale Superiore, Серия III (на итальянском языке), 1 (1947) (1–4): 75–100, Г-Н 0035370, Zbl 0035.18603. В газете "Экзистенциальный анализ решений смешанных краевых задач, связанных с эллиптическим уравнением второго порядка и системами уравнений, самосопряженными"(Английский перевод названия) Гаэтано Фичера приводит первые доказательства существование и теоремы единственности для смешанной краевой задачи с общим вторым порядком самосопряженный эллиптические операторы в целом домены.
Гуру, Bhag S .; Хызыроглу, Хусейн Р. (2004), Основы теории электромагнитного поля (2-е изд.), Кембридж, Великобритания - Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, п. 593, ISBN 0-521-83016-8.
Миранда, Карло (1955), Equazioni all derivate parziali di tipo ellittico, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете - Neue Folge (на итальянском языке), Heft 2 (1-е изд.), Берлин - Гёттинген - Нью-Йорк: Springer Verlag, стр. VIII + 222, Г-Н 0087853, Zbl 0065.08503.
Миранда, Карло (1970) [1955], Уравнения с частными производными эллиптического типа., Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете - 2 Folge, Band 2 (2-е пересмотренное издание), Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк: Springer Verlag, стр. XII + 370, ISBN 978-3-540-04804-6, Г-Н 0284700, Zbl 0198.14101, перевод с итальянского Зейна К. Моттелера.
Заремба, С. (1910), "Sur un problème mixte relatif à l 'équation de Laplace", Международный бюллетень Академии наук Кракови. Класс математических и естественных наук, Серия A: Математические науки (на французском языке): 313–344, JFM 41.0854.12, переводится на русский язык как Заремба, С. (1946), Об одной смешанной задаче, относящейся к уравнению Лапласа, Успехи математических наук. (по-русски), 1 (3-4(13-14)): 125–146, Г-Н 0025032, Zbl 0061.23010.

Эта математический анализ –Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.

[1] Очевидно, что требовать $ты 0$ и $г$ быть функциями: они могут быть распределения или любой другой вид обобщенные функции.

[2] (Английский перевод) "Мистер Виртингер во время частной беседы обратил мое внимание на следующую проблему: определить одну функцию $ты$ удовлетворяющее уравнению Лапласа в некоторой области ( $D$ ) дается, со стороны ( $S$ ) ее границы периферийные значения искомой функции, а на остальной части ( $S '$ ) рассматриваемой области, производные по нормали. Я стремлюсь дать очень общее решение этой интересной проблемы ".

[3] Увидеть (Заремба 1910, § 1, с. 313).

[1]

[2]

[3]