Модуль гладкости - Modulus of smoothness

В математика, модули гладкости используются для количественного измерения гладкости функций. Модули гладкости обобщают модуль непрерывности и используются в теория приближения и числовой анализ оценить ошибки аппроксимации многочлены и шлицы.

Модули гладкости

Модуль гладкости порядка ${\displaystyle n}$ ^[1]функции ${\displaystyle f\in C[a,b]}$ это функция ${\displaystyle \omega _{n}:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ определяется

${\displaystyle \omega _{n}(t,f,[a,b])=\sup _{h\in [0,t]}\sup _{x\in [a,b-nh]}\left|\Delta _{h}^{n}(f,x)\right|\qquad {\text{for}}\quad 0\leq t\leq {\frac {b-a}{n}},}$

и

${\displaystyle \omega _{n}(t,f,[a,b])=\omega _{n}\left({\frac {b-a}{n}},f,[a,b]\right)\qquad {\text{for}}\quad t>{\frac {b-a}{n}},}$

где конечная разница (п-го порядка разницы вперед) определяется как

${\displaystyle \Delta _{h}^{n}(f,x_{0})=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}f(x_{0}+ih).}$

Характеристики

1. ${\displaystyle \omega _{n}(0)=0,\omega _{n}(0+)=0.}$

2. ${\displaystyle \omega _{n}}$ не убывает на ${\displaystyle [0,\infty ).}$

3. ${\displaystyle \omega _{n}}$ продолжается на ${\displaystyle [0,\infty ).}$

4. Для ${\displaystyle m\in \mathbb {N} ,t\geq 0}$ у нас есть:

${\displaystyle \omega _{n}(mt)\leq m^{n}\omega _{n}(t).}$

5. ${\displaystyle \omega _{n}(f,\lambda t)\leq (\lambda +1)^{n}\omega _{n}(f,t),}$ за ${\displaystyle \lambda >0.}$

6. Для ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$ позволять ${\displaystyle W^{r}}$ обозначим пространство непрерывных функций на ${\displaystyle [-1,1]}$ который имеет ${\displaystyle (r-1)}$-й абсолютно непрерывной производной на ${\displaystyle [-1,1]}$ и

${\displaystyle \left\|f^{(r)}\right\|_{L_{\infty }[-1,1]}<+\infty .}$

Если ${\displaystyle f\in W^{r},}$ тогда

${\displaystyle \omega _{r}(t,f,[-1,1])\leq t^{r}\left\|f^{(r)}\right\|_{L_{\infty }[-1,1]},t\geq 0,}$

куда ${\displaystyle \|g(x)\|_{L_{\infty }[-1,1]}={\mathrm {ess} \sup }_{x\in [-1,1]}|g(x)|.}$

Приложения

Модули гладкости можно использовать для доказательства оценок погрешности приближения. Благодаря свойству (6) модули гладкости дают более общие оценки, чем оценки в терминах производных.

Например, модули гладкости используются в Неравенство Уитни оценить погрешность аппроксимации локальным полиномом. Другое приложение представлено следующей более общей версией Неравенство Джексона:

Для каждого натурального числа ${\displaystyle n}$, если ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle 2\pi }$-периодической непрерывной функции существует тригонометрический полином ${\displaystyle T_{n}}$ степени ${\displaystyle \leq n}$ такой, что

${\displaystyle \left|f(x)-T_{n}(x\right)|\leq c(k)\omega _{k}\left({\frac {1}{n}},f\right),\quad x\in [0,2\pi ],}$

где постоянная ${\displaystyle c(k)}$ зависит от ${\displaystyle k\in \mathbb {N} .}$

Рекомендации

1. Деворе, Рональд А., Лоренц, Джордж Г., Конструктивное приближение, Springer-Verlag, 1993.