Неравенство Уитни - Whitney inequality - Wikipedia

В математика, то Неравенство Уитни дает верхнюю оценку ошибки наилучшего приближения функции величиной многочлены с точки зрения модули гладкости. Впервые это было доказано Хасслер Уитни в 1957 г.,^[1] и является важным инструментом в области теория приближения для получения оценок сверху ошибок наилучшего приближения.

Формулировка теоремы

Обозначим значение наилучшего равномерного приближения функция ${\displaystyle f\in C([a,b])}$ алгебраическим многочлены ${\displaystyle P_{n}}$ степени ${\displaystyle \leq n}$ к

${\displaystyle E_{n}(f)_{[a,b]}:=\inf _{P_{n}}{\|f-P_{n}\|_{C([a,b])}}}$

В модули гладкости порядка ${\displaystyle k}$ из функция ${\displaystyle f\in C([a,b])}$ определяются как:

${\displaystyle \omega _{k}(t):=\omega _{k}(t;f;[a,b]):=\sup _{h\in [0,t]}\|\Delta _{h}^{k}(f;\cdot )\|_{C([a,b-kh])}\quad {\text{ for }}\quad t\in [0,(b-a)/k],}$

${\displaystyle \omega _{k}(t):=\omega _{k}((b-a)/k)\quad {\text{ for}}\quad t>(b-a)/k,}$

куда ${\displaystyle \Delta _{h}^{k}}$ это конечная разница порядка ${\displaystyle k}$.

Теорема: ^[2] [Уитни, 1957] Если ${\displaystyle f\in C([a,b])}$, тогда

${\displaystyle E_{k-1}(f)_{[a,b]}\leq W_{k}\omega _{k}\left({\frac {b-a}{k}};f;[a,b]\right)}$

куда ${\displaystyle W_{k}}$ константа, зависящая только от ${\displaystyle k}$. Константа Уитни ${\displaystyle W(k)}$ это наименьшее значение ${\displaystyle W_{k}}$ для которого справедливо указанное выше неравенство. Теорема особенно полезна при применении к интервалам небольшой длины, что приводит к хорошим оценкам погрешности сплайн приближение.

Доказательство

Первоначальное доказательство, данное Уитни, следует аналитическому аргументу, который использует свойства модули гладкости. Однако это можно доказать и гораздо более коротким способом, используя K-функционалы Питра.^[3]

Позволять:

${\displaystyle x_{0}:=a,\quad h:={\frac {b-a}{k}},\quad x_{j}:=x+0+jh,\quad F(x)=\int _{a}^{x}f(u)\,du,}$

${\displaystyle G(x):=F(x)-L(x;F;x_{0},\ldots ,x_{k}),\quad g(x):=G'(x),}$

${\displaystyle \omega _{k}(t):=\omega _{k}(t;f;[a,b])\equiv \omega _{k}(t;g;[a,b])}$

куда ${\displaystyle L(x;F;x_{0},\ldots ,x_{k})}$ это Полином Лагранжа за ${\displaystyle F}$ в узлах ${\displaystyle \{x_{0},\ldots ,x_{k}\}}$.

Теперь исправим некоторые ${\displaystyle x\in [a,b]}$ и выберите ${\displaystyle \delta }$ для которого ${\displaystyle (x+k\delta )\in [a,b]}$. Потом:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\Delta _{t\delta }^{k}(g;x)\,dt=(-1)^{k}g(x)+\sum _{j=1}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}\int _{0}^{1}g(x+jt\delta )\,dt}$

${\displaystyle =(-1)^{k}g(x)+\sum _{j=1}^{k}{(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}{\frac {1}{j\delta }}(G(x+j\delta )-G(x))},}$

Следовательно:

${\displaystyle |g(x)|\leq \int _{0}^{1}|\Delta _{t\delta }^{k}(g;x)|\,dt+{\frac {2}{|\delta |}}\|G\|_{C([a,b])}\sum _{j=1}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {1}{j}}\leq \omega _{k}(|\delta |)+{\frac {1}{|\delta |}}2^{k+1}\|G\|_{C([a,b])}}$

А поскольку у нас есть ${\displaystyle \|G\|_{C([a,b])}\leq h\omega _{k}(h)}$, (свойство модули гладкости )

${\displaystyle E_{k-1}(f)_{[a,b]}\leq \|g\|_{C([a,b])}\leq \omega _{k}(|\delta |)+{\frac {1}{|\delta |}}h2^{k+1}\omega _{k}(h).}$

С ${\displaystyle \delta }$ всегда можно выбрать так, чтобы ${\displaystyle h\geq |\delta |\geq h/2}$, это завершает доказательство.

Константы Уитни и гипотеза Сендова

Важно иметь точные оценки констант Уитни. Легко показать, что ${\displaystyle W(1)=1/2}$, и это было впервые доказано Burkill (1952), что ${\displaystyle W(2)\leq 1}$, который предположил, что ${\displaystyle W(k)\leq 1}$ для всех ${\displaystyle k}$. Уитни также смог доказать, что ^[2]

${\displaystyle W(2)={\frac {1}{2}},\quad {\frac {8}{15}}\leq W(3)\leq 0.7\quad W(4)\leq 3.3\quad W(5)\leq 10.4}$

и

${\displaystyle W(k)\geq {\frac {1}{2}},\quad k\in \mathbb {N} }$

В 1964 году Брудному удалось получить оценку ${\displaystyle W(k)=O(k^{2k})}$, а в 1982 г. Сендов доказал, что ${\displaystyle W(k)\leq (k+1)k^{k}}$. Затем, в 1985 году, Иванов и Такев доказали, что ${\displaystyle W(k)=O(k\ln k)}$, а Бинев доказал, что ${\displaystyle W(k)=O(k)}$. Сендов предположил, что ${\displaystyle W(k)\leq 1}$ для всех ${\displaystyle k}$, а в 1985 году удалось доказать, что константы Уитни ограничены сверху абсолютной константой, т. е. ${\displaystyle W(k)\leq 6}$ для всех ${\displaystyle k}$. Крякин, Гилевич и Шевчук (2002)^[4] смогли показать, что ${\displaystyle W(k)\leq 2}$ за ${\displaystyle k\leq 82000}$, и это ${\displaystyle W(k)\leq 2+{\frac {1}{e^{2}}}}$ для всех ${\displaystyle k}$.

Рекомендации

1. Хасслер, Уитни (1957). «О функциях с ограниченными n-м разностями». J. Math. Pures Appl. 36 (IX): 67–95.
2. Дзядык Владислав К .; Шевчук, Игорь А. (2008). «3,6». Теория равномерного приближения функций многочленами (1-е изд.). Берлин, Германия: Вальтер де Грюйтер. стр.231 –233. ISBN  978-3-11-020147-5.
3. Деворе, Р. А. К .; Лоренц, Г.Г. «6, теорема 4.2». Конструктивное приближение, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук] (1-е изд.). Берлин, Германия: Springer-Verlag. ISBN  978-3540506270.
4. Gilewicz, J .; Крякин, Ю. V .; Шевчук, И. А. (2002). "Ограниченность 3 константы интерполяции Уитни". Журнал теории приближений. 119 (2): 271–290.