Серия Мольен - Molien series

В математика, а Серия Мольен это производящая функция прикреплен к линейное представление ρ группа грамм на конечномерное векторное пространство V. Он считает однородные многочлены данного общая степень d которые инварианты за грамм. Он назван в честь Теодор Мольен.

Формулировка

Более формально, существует векторное пространство таких многочленов для каждого заданного значения d = 0, 1, 2, ..., и мы пишем п_d для своего векторное пространственное измерение, или, другими словами, количество линейно независимых однородных инвариантов заданной степени. В более алгебраических терминах возьмем d-го симметричная мощность из V, и представление грамм на нем, возникающем из р. Инварианты образуют подпространство, состоящее из всех векторов, фиксированных всеми элементами грамм, и п_d это его размер.

Тогда ряд Мольена по определению является формальный степенной ряд

${\displaystyle M(t)=\sum _{d}n_{d}t^{d}.}$

На это можно взглянуть иначе, рассмотрев представление грамм на симметрическая алгебра из V, а затем весь подалгебра р из грамм-инварианты. потом п_d размер однородной части р измерения d, когда мы смотрим на это как градуированное кольцо. Таким образом, серия Молиена также является своего рода Ряд Гильберта. Без дальнейших гипотез мало что можно сказать, но, принимая некоторые условия конечности, тогда можно показать, что ряд Мольена является рациональная функция. Случай конечные группы наиболее часто изучается.

Формула

Мольен показало, что

${\displaystyle M(t)={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}{\frac {1}{\det(I-t\rho (g))}}}$

Это означает, что коэффициент т^d в этой серии это измерение п_d определено выше. Предполагается, что характеристика поля не делит |грамм| (но и без этого предположения формула Мольена в виде ${\displaystyle |G|\cdot M(t)=\sum _{g\in G}{\frac {1}{\det(I-t\rho (g))}}}$ действительно, хотя это не помогает с вычислениями M(т)).

Пример

Рассмотрим симметричная группа ${\displaystyle S_{3}}$ действующий на р³ путем перестановки координат. Складываем сумму по групповым элементам следующим образом: начиная с тождества, имеем

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}1-t&0&0\\0&1-t&0\\0&0&1-t\end{pmatrix}}=(1-t)^{3}}$.

Существует трехэлементный класс сопряженности ${\displaystyle S_{3}}$, состоящий из перестановок двух координат. Это дает три члена формы

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}1&-t&0\\-t&1&0\\0&0&1-t\end{pmatrix}}=(1-t)(1-t^{2})}$.

Существует двухэлементный класс сопряженных циклических перестановок, дающий два члена вида

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}1&-t&0\\0&1&-t\\-t&0&1\end{pmatrix}}=(1-t^{3})}$.

Обратите внимание, что разные элементы одного и того же класса сопряженности дают один и тот же определитель. Таким образом

${\displaystyle M(t)={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{(1-t)^{3}}}+{\frac {3}{(1-t)(1-t^{2})}}+{\frac {2}{1-t^{3}}}\right)={\frac {1}{(1-t)(1-t^{2})(1-t^{3})}}.}$

С другой стороны, мы можем расширить геометрический ряд и умножить, чтобы получить

${\displaystyle M(t)=(1+t+t^{2}+t^{3}+\ldots )(1+t^{2}+t^{4}+\ldots )(1+t^{3}+t^{6}+\ldots )=1+t+2t^{2}+3t^{3}+4t^{4}+5t^{5}+6t^{6}+7t^{7}+9t^{8}+11x^{9}\ldots }$

Коэффициенты ряда сообщают нам количество линейно независимых однородных многочленов от трех переменных, которые инвариантны относительно перестановок трех переменных, то есть количество независимых симметричные многочлены в трех переменных. Фактически, если мы рассмотрим элементарные симметричные полиномы

${\displaystyle \sigma _{1}=x+y+z}$

${\displaystyle \sigma _{2}=xy+xz+yz}$

${\displaystyle \sigma _{3}=xyz}$

мы можем видеть, например, что в степени 5 есть базис, состоящий из ${\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{2},\sigma _{3}\sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2}\sigma _{1},\sigma _{1}^{3}\sigma _{2}}$ и ${\displaystyle \sigma _{1}^{5}}$.

(Фактически, если вы умножите ряд вручную, вы увидите, что ${\displaystyle t^{k}}$ термин происходит от комбинаций ${\displaystyle t,t^{2}}$ и ${\displaystyle t^{3}}$ точно соответствует комбинациям ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ и ${\displaystyle \sigma _{3}}$, также соответствующие разбиениям ${\displaystyle k}$ с ${\displaystyle 1,2,}$ и ${\displaystyle 3}$ как части. Смотрите также Разделение (теория чисел) и Теория представлений симметрической группы.)

Рекомендации

• Дэвид А. Кокс, Джон Б. Литтл, Донал О'Ши (2005), Использование алгебраической геометрии, стр. 295–8
• Molien, Th. (1897). "Uber die Invarianten der linearen Substitutionsgruppen". Sitzungber. Кониг. Прейс. Акад. Wiss. (Дж. Берл. Бер.). 52: 1152–1156. JFM  28.0115.01.
• Мукаи, С. (2002). Введение в инварианты и модули. Кембриджские исследования в области высшей математики. 81. ISBN  978-0-521-80906-1.