Монотонно нормальное пространство - Monotonically normal space

В математике монотонно нормальное пространство это особый вид нормальное пространство, с некоторыми особыми характеристиками и является наследственно нормальным, и любые два разделенных подмножества строго разделены. Они определены в терминах оператора монотонной нормальности.

А ${displaystyle T_{1}}$ топологическое пространство ${displaystyle (X,{mathcal {T}})}$ как говорят монотонно нормальный если выполняется следующее условие:

Для каждого ${displaystyle xin G}$, где G открыта, существует открытое множество ${displaystyle mu (x,G)}$ такой, что

1. ${displaystyle xin mu (x,G)subseteq G}$
2. если ${displaystyle mu (x,G)cap mu (y,H)eq emptyset }$ тогда либо ${displaystyle xin H}$ или же ${displaystyle yin G}$.

Есть несколько эквивалентных критериев монотонной нормальности.

Эквивалентные определения

Определение 2

Пространство X называется монотонно нормальным, если оно ${displaystyle T_{1}}$ и для каждой пары непересекающихся замкнутых подмножеств ${displaystyle A,B}$ есть открытый набор ${displaystyle G(A,B)}$ со свойствами

1. ${displaystyle Asubseteq G(A,B)subseteq G(A,B)^{-}subseteq Xackslash B}$ и
2. ${displaystyle G(A,B)subseteq G(A',B')}$, в любое время ${displaystyle Asubseteq A'}$ и ${displaystyle B'subseteq B}$.

Этот оператор ${displaystyle G}$ называется оператор монотонной нормальности.

Заметим, что если G - оператор монотонной нормальности, то ${displaystyle { ilde {G}}}$ определяется ${displaystyle { ilde {G}}(A,B)=G(A,B)ackslash G(B,A)^{-}}$ также является оператором монотонной нормальности; и ${displaystyle { ilde {G}}}$ удовлетворяет

${displaystyle {egin{aligned}{ ilde {G}}(A,B)cap { ilde {G}}(B,A)=emptyset end{aligned}}}$

По этой причине мы некоторое время возьмем оператор монотонной нормальности, чтобы удовлетворить вышеуказанному требованию; и это облегчает доказательство некоторых теорем, а также эквивалентности определений.

Определение 3

Пространство X называется монотонно нормальным, если оно ${displaystyle T_{1}}$, и каждой паре (A, B) подмножеств X, причем ${displaystyle Acap B^{-}=emptyset =Bcap A^{-}}$, можно назначить открытое подмножество G (A, B) в X такое, что

1. ${displaystyle Asubseteq G(A,B)subseteq G(A,B)^{-}subseteq Xackslash B,}$
2. ${displaystyle G(A,B)subseteq G(A',B'){mbox{ whenever }}Asubseteq A'{mbox{ and }}B'subseteq B}$.

Определение 4.

Пространство X называется монотонно нормальным, если оно ${displaystyle T_{1}}$ и существует функция H, которая назначает каждой упорядоченной паре (p, C), где C замкнуто, а p не имеет C, открытое множество H (p, C), удовлетворяющее:

1. ${displaystyle pin H(p,C)subseteq Xackslash C}$
2. если D замкнуто и ${displaystyle pot in Csupseteq D}$ тогда ${displaystyle H(p,C)subseteq H(p,D)}$
3. если ${displaystyle peq q}$ точки в X, то ${displaystyle H(p,{q})cap H(q,{p})=emptyset }$.

Характеристики

Важным примером этих пространств могут быть, если исходить из аксиомы выбора, линейно упорядоченные пространства; однако это действительно необходимо аксиома выбора для произвольного линейного порядка нормальный (см. статью ван Доувена). Любой обобщенная метрика монотонно нормально даже без выбора. Важным свойством монотонно нормальных пространств является то, что любые два разделенных подмножества там сильно разделены. Монотонная нормальность является наследственным свойством, и монотонно нормальное пространство всегда нормально по первому условию второго эквивалентного определения.

Перечислим некоторые свойства:

1. А закрытая карта сохраняет монотонную нормальность.
2. Монотонно нормальное пространство наследственно коллекционная нормальная.
3. Упругие пространства монотонно нормальны.

Некоторые ссылки для обсуждения

• Heath, R.W .; Lutzer, D. J .; Зенор, П. Л. (апрель 1973 г.). «Монотонно нормальные пространства» (PDF). Труды Американского математического общества. 178: 481–493. Дои:10.2307/1996713. JSTOR  1996713.
• Борхес, Карлос Р. (март 1973 г.). «Исследование монотонно нормальных пространств» (PDF). Труды Американского математического общества. 38 (1): 211–214. Дои:10.2307/2038799. JSTOR  2038799.
• ван Доувен, Эрик К. (Сентябрь 1985 г.). "Ужасы топологии без переменного тока: ненормальное упорядочиваемое пространство" (PDF). Труды Американского математического общества. 95 (1): 101–105. Дои:10.2307/2045582. JSTOR  2045582.
• Гартсайд, П. М. (1997). «Кардинальные инварианты монотонно нормальных пространств». Топология и ее приложения. 77 (3): 303–314. Дои:10.1016 / s0166-8641 (96) 00086-7.
• Дискуссию Хенно Брандсмы о монотонной нормальности в Атласе топологии можно просмотреть Вот