Многоугольник Муфанг - Moufang polygon

В математике Полигоны муфанг являются обобщением Жак Титс из Самолеты Муфанг изучен Рут Муфанг, и неприводимы здания второго ранга, допускающие действие корневые группы В книге по этой теме Титс и Ричард Вайс[1] классифицируйте их все. Более ранняя теорема, независимо доказанная Титсом и Вейссом,[2][3] показали, что многоугольник Муфанг должен быть обобщенным 3-угольником, 4-угольником, 6-угольником или 8-угольником, поэтому целью вышеупомянутой книги был анализ этих четырех случаев.

Определения

  • А обобщенный п-угольник это двудольный граф диаметра п и обхват 2п.
  • Граф называется толстым, если все вершины имеют валентность не менее 3.
  • Корень обобщенного п-угольник - это путь длины п.
  • Квартира генерализованного п-угольник - это цикл длины 2п.
  • Корневая подгруппа корня - это подгруппа автоморфизмов графа, которые фиксируют все вершины, смежные с одной из внутренних вершин корня.
  • Муфанг п-угольник - толстый обобщенный п-угольник (с п> 2) такое, что корневая подгруппа любого корня действует транзитивно на квартирах, содержащих корень.

Муфанг 3-угольные

Трехугольник Муфанг можно отождествить с график заболеваемости Муфанг проективная плоскость. На этом отождествлении точки и линии плоскости соответствуют вершинам здания. Группы Ли дают начало примерам, которые являются тремя основными типами 3-угольников Муфанг. Есть четыре настоящих алгебры с делением: реальные числа, сложные числа, то кватернионы, а октонионы, размеров 1,2,4 и 8 соответственно. Тогда проективная плоскость над такой алгеброй с делением порождает 3-угольник Муфанг.

Эти проекционные плоскости соответствуют зданию, прикрепленному к SL.3(р), SL3(C), действительная форма A5 и к действительной форме E6соответственно.

На первой диаграмме[требуется разъяснение какая диаграмма?] узлы в кружках представляют собой 1-пространства и 2-пространства в трехмерном векторном пространстве. На второй диаграмме[требуется разъяснение какая диаграмма?] узлы в кружке представляют 1-пространство и 2-пространства в трехмерном векторном пространстве над кватернионы, которые, в свою очередь, представляют определенные 2-пространства и 4-пространства в 6-мерном комплексном векторном пространстве, как это выражено узлами в кружке в A5 диаграмма. Четвертый случай - форма E6 - является исключительным, и его аналог для 4-угольников Муфанг - главная особенность книги Вайса.

Переходя от действительных чисел к произвольному полю, 3-угольники Муфанг можно разделить на три случая, как указано выше. Случай разделения на первой диаграмме существует над любым полем. Второй случай распространяется на все ассоциативные некоммутативные алгебры с делением; над вещественными числами они ограничены алгеброй кватернионов, которая имеет степень 2 (и размерность 4), но некоторые поля допускают центральные алгебры с делением других степеней. В третьем случае используются «альтернативные» алгебры с делением (которые удовлетворяют ослабленной форме ассоциативного закона) и теорема Ричард Брук и Эрвин Кляйнфельд[4] показывает, что это алгебры Кэли-Диксона.[5] На этом мы завершаем обсуждение 3-угольников Муфанг.

Муфанг 4-угольные

4-угольники Муфанга также называют четырехугольниками Муфанг. Классификация 4-угольников Муфанг была самой сложной из всех, и когда Титс и Вайс начали ее писать, возник доселе незамеченный тип, возникший из групп типа F4. Их можно разделить на три класса:

  • (i) Те, которые возникают из классических групп.
  • (ii) Те, которые возникают из «смешанных групп» (в которых есть два несовершенных поля характеристики 2, K и L, причем K2 ⊂ L ⊂ K).
  • (iii) Возникающие из четырехугольных алгебр.

Здесь есть некоторое перекрытие в том смысле, что некоторые классические группы, возникающие из псевдоквадратичных пространств, могут быть получены из четырехугольных алгебр (которые Вейсс называет специальными), но есть и другие, неспециальные. Наиболее важные из них возникают из алгебраических групп типов E6, E7 и E8. Это k-формы алгебраических групп, принадлежащих следующим диаграммам: E6E7E8. Е6 существует над действительными числами, а Е7 и Е8 - нет. Во всех этих случаях Вейсс называет четырехугольные алгебры Вейссом регулярными, но не специальными. Есть еще один тип, который он называет дефектным, возникающий из групп типа F4. Это самые экзотические из всех - они связаны с чисто неотделимыми расширениями поля в характеристике 2 - и Вайс обнаружил их только во время совместной работы с Титсом по классификации 4-угольников Муфанг, исследуя странную лакуну, которой не должно было существовать, но она существовала.

Классификация 4-угольников Муфанг Титсом и Вейссом двояко связана с их интригующей монографией. Во-первых, использование четырехугольных алгебр сокращает некоторые из известных ранее методов. Во-вторых, концепция является аналогом октонионные алгебры, и квадратичные йордановы алгебры с делением степени 3, порождающие 3-угольники и 6-угольники Муфанг.

Фактически все исключительные плоскости, четырехугольники и шестиугольники Муфанг, которые не возникают из "смешанных групп" (характеристики 2 для четырехугольников или характеристики 3 для шестиугольников), происходят от октонионов, четырехугольных алгебр или Йордановы алгебры.

Муфанг 6-угольный

Шестиугольники Муфанга также называют шестиугольниками Муфанг. Классификация 6-угольников Муфанг была сформулирована Титсом:[6] хотя детали оставались недоказанными до совместной работы с Вайсом над Moufang Polygons.

Муфанг 8-угольные

8-угольники Муфанг также называют восьмиугольниками Муфанг. Их классифицировали по Титсу,[7] где он показал, что все они возникают из Ри группы типа «F».

Четырехугольные алгебры

Потенциальное использование четырехугольных алгебр - анализ двух открытых вопросов. Одна из них - это гипотеза Кнезера-Титса.[8] что касается всей группы линейные преобразования здания (например, GLп) за счет подгруппы, порожденной корневыми группами (например, SLп).

Гипотеза доказана для всех построек Муфанг, кроме 6-угольников и 4-угольников типа E8, и в этом случае предполагается, что группа линейных преобразований равна подгруппе, порожденной корневыми группами. Для шестиугольников E8 это можно перефразировать как вопрос о квадратичных йордановых алгебрах, а для четырехугольников E8 теперь можно перефразировать в терминах четырехугольных алгебр.

Другой открытый вопрос о четырехугольнике E8 касается полей, полных относительно дискретной оценки: существует ли в таких случаях аффинное здание, которое дает четырехугольник в качестве своей структуры на бесконечности?

Смотрите также

Примечания и ссылки

  1. ^ Сиськи, Жак; Вайс, Ричард (2013) [2002]. Полигоны Муфанг. Монографии Спрингера по математике. Springer. ISBN  978-3-662-04689-0.
  2. ^ Титс, Жак (1976). «Несуществование определенных определений, многоугольники généralisés, I, II». Inventiones Mathematicae. 36 (1): 275–284. Bibcode:1976InMat..36..275T. Дои:10.1007 / BF01390013. S2CID  189829929. 51 (3), (1979) 267–269 Дои:10.1007 / BF01389919.
  3. ^ Вайс, Ричард (1979). «Отсутствие некоторых полигонов Муфанг». Inventiones Mathematicae. 51 (3): 261–6. Bibcode:1979InMat..51..261W. Дои:10.1007 / BF01389918. S2CID  120137397.
  4. ^ Брук, Ричард Х.; Кляйнфельд, Эрвин (1951). «Устройство альтернативных делительных колец». Труды Американского математического общества. 2 (6): 878–890. Дои:10.2307/2031702. JSTOR  2031702. Г-Н  0045099. ЧВК  1063309. PMID  16578361.
  5. ^ Кляйнфельд, Эрвин (1951). «Альтернативные уплотнительные кольца характеристики 2». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 37 (12): 818–820. Bibcode:1951ПНАС ... 37..818К. Дои:10.1073 / pnas.37.12.818. Г-Н  0041834. ЧВК  1063478. PMID  16589035.
  6. ^ Титс, Дж. (1976). «Классификация зданий сферического типа и многоугольников Муфанг: обзор». Colloquio Internazionale sulle Teorie Combinatorie. 2. С. 229–246. OCLC  313112178.
  7. ^ Титс, Дж. (1983). "Восьмиугольники Муфанг и группы Ри типа 2F4". Амер. J. Math. 105 (2): 539–594. Дои:10.2307/2374268. JSTOR  2374268.
  8. ^ Жак, Жак (1977). «Группы белых угрей из простых простых групп на корпусе [d'après В. П. Платонов и др.]». Séminaire Bourbaki 1976/77 Exposés 489–506. Конспект лекций по математике. Springer. С. 218–236. ISBN  978-3-540-35719-3.

дальнейшее чтение

  • Титс, Жак (1966). «Классификация алгебраических полупростых групп». В Бореле, Арман; Мостоу, Джордж Д. (ред.). Алгебраические группы и разрывные подгруппы. Материалы симпозиумов по чистой математике. 9. Американское математическое общество. С. 33–62. ISBN  0821814095. OCLC  869830680.