Неравенство Мюрхедса - Muirheads inequality - Wikipedia

В математика, Неравенство Мюрхеда, названный в честь Роберт Франклин Мюрхед, также известный как метод "группировки", обобщает неравенство средних арифметических и геометрических.

Предварительные определения

а-иметь в виду

Для любого настоящий вектор

определить "а-иметь в виду" [а] положительных действительных чисел Икс1, ..., Иксп к

где сумма распространяется на все перестановки σ из {1, ..., п }.

Когда элементы а неотрицательные целые числа, а-средство может быть эквивалентно определено через мономиальный симметричный многочлен в качестве

куда л это количество различных элементов в а, и k1, ..., kл их множественность.

Обратите внимание, что а-средство, как определено выше, имеет только обычные свойства иметь в виду (например, если им равно среднее значение равных чисел), если . В общем случае вместо этого можно рассматривать , который называется Мюрхед среднее.[1]

Примеры

Дважды стохастические матрицы

An п × п матрица п является дважды стохастический именно если оба п и его транспонировать пТ находятся стохастические матрицы. А стохастическая матрица представляет собой квадратную матрицу неотрицательных вещественных элементов, в которой сумма элементов в каждом столбце равна 1. Таким образом, дважды стохастическая матрица - это квадратная матрица неотрицательных вещественных элементов, в которой сумма элементов в каждой строке и сумма элементов записей в каждом столбце - 1.

Заявление

Неравенство Мюрхеда утверждает, что [а] ≤ [б] для всех Икс такой, что Икся > 0 для каждого я ∈ { 1, ..., п } тогда и только тогда, когда существует некоторая дважды стохастическая матрица п для которого а = Pb.

Кроме того, в этом случае мы имеем [а] = [б] если и только если а = б или все Икся равны.

Последнее условие можно выразить несколькими эквивалентными способами; один из них приведен ниже.

Доказательство использует тот факт, что каждая дважды стохастическая матрица является средневзвешенным значением матрицы перестановок (Теорема Биркгофа-фон Неймана ).

Другое эквивалентное условие

Из-за симметрии суммы не теряется общность при сортировке показателей в порядке убывания:

Тогда существование дважды стохастической матрицы п такой, что а = Pb эквивалентна следующей системе неравенств:

(The последний один - равенство; остальные - слабые неравенства.)

Последовательность говорят мажорировать последовательность .

Обозначение симметричной суммы

Для сумм удобно использовать специальные обозначения. Успех в уменьшении неравенства в этой форме означает, что единственным условием его проверки является проверка того, соответствует ли одна последовательность экспонент () преобладает над другим.

Эта запись требует разработки каждой перестановки, разработки выражения, состоящего из п! мономы, например:

Примеры

Неравенство среднего арифметико-геометрического

Позволять

и

У нас есть

потом

[аА] ≥ [аграмм],

который

что приводит к неравенству.

Другие примеры

Мы стремимся доказать, что Икс2 + у2 ≥ 2ху с помощью группировки (неравенство Мюрхеда), преобразуя его в нотацию симметричной суммы:

Последовательность (2, 0) мажорирует последовательность (1, 1), поэтому неравенство выполняется путем группировки.

Аналогично можно доказать неравенство

записав его с использованием обозначения симметричной суммы как

который совпадает с

Поскольку последовательность (3, 0, 0) мажорирует последовательность (1, 1, 1), неравенство выполняется путем группирования.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Буллен, П. С. Справочник средств и их неравенства. Kluwer Academic Publishers Group, Дордрехт, 2003. ISBN  1-4020-1522-4

Рекомендации

  • Комбинаторная теория Джона Н. Гуиди на основе лекций, прочитанных Джан-Карло Рота в 1998, MIT Copy Technology Center, 2002.
  • Киран Кедлая, А < B (А меньше, чем B), руководство по устранению неравенства
  • Теорема Мюрхеда в PlanetMath.
  • Харди, G.H .; Littlewood, J.E .; Полиа, Г. (1952), Неравенства, Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.), Кембридж: Cambridge University Press, ISBN  0-521-05206-8, МИСТЕР0046395, Zbl  0047.05302, Раздел 2.18, теорема 45.