Множественная дзета-функция - Multiple zeta function

Для другой, но связанной множественной дзета-функции см. Дзета-функция Барнса.

В математика, то несколько дзета-функций являются обобщениями Дзета-функция Римана, определяется

${displaystyle zeta (s_{1},ldots ,s_{k})=sum _{n_{1}>n_{2}>cdots >n_{k}>0} {frac {1}{n_{1}^{s_{1}}cdots n_{k}^{s_{k}}}}=sum _{n_{1}>n_{2}>cdots >n_{k}>0} prod _{i=1}^{k}{frac {1}{n_{i}^{s_{i}}}},!}$

и сходятся при Re (s₁) + ... + Re (s_я) > я для всехя. Подобно дзета-функции Римана, множественные дзета-функции могут быть аналитически продолжены как мероморфные функции (см., Например, Zhao (1999)). Когда s₁, ..., s_k все положительные целые числа (с s₁ > 1) эти суммы часто называют несколько дзета-значений (МЗВ) или Суммы Эйлера. Эти значения также можно рассматривать как особые значения множественных полилогарифмов. ^[1][2]

В k в приведенном выше определении называется "длина" MZV, а п = s₁ + ... + s_k известен как «вес».^[3]

Стандартное сокращение для написания нескольких дзета-функций состоит в том, чтобы заключить повторяющиеся строки аргумента в фигурные скобки и использовать верхний индекс для указания количества повторений. Например,

${displaystyle zeta (2,1,2,1,3)=zeta ({2,1}^{2},3)}$

Случай двух параметров

В частном случае у нас есть только два параметра (с s> 1 и n, m целым числом):^[4]

${displaystyle zeta (s,t)=sum _{n>mgeq 1} {frac {1}{n^{s}m^{t}}}=sum _{n=2}^{infty }{frac {1}{n^{s}}}sum _{m=1}^{n-1}{frac {1}{m^{t}}}=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{(n+1)^{s}}}sum _{m=1}^{n}{frac {1}{m^{t}}}}$

${displaystyle zeta (s,t)=sum _{n=1}^{infty }{frac {H_{n,t}}{(n+1)^{s}}}}$ где ${displaystyle H_{n,t}}$ являются обобщенные гармонические числа.

Известно, что множественные дзета-функции удовлетворяют так называемой двойственности MZV, простейшим случаем которой является знаменитое тождество Эйлер:

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {H_{n}}{(n+1)^{2}}}=zeta (2,1)=zeta (3)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{3}}},!}$

где ЧАС_п являются гармонические числа.

Специальные значения двойных дзета-функций, с s > 0 и даже, т > 1 и нечетное, но s + t = 2N + 1 (принимая при необходимости ζ(0) = 0):^[4]

${displaystyle zeta (s,t)=zeta (s)zeta (t)+{ frac {1}{2}}{Big [}{ binom {s+t}{s}}-1{Big ]}zeta (s+t)-sum _{r=1}^{N-1}{Big [}{ binom {2r}{s-1}}+{ binom {2r}{t-1}}{Big ]}zeta (2r+1)zeta (s+t-1-2r)}$

s	т	приблизительное значение	явные формулы	OEIS
2	2	0.811742425283353643637002772406	${displaystyle { frac {3}{4}}zeta (4)}$	OEIS: A197110
3	2	0.228810397603353759768746148942	${displaystyle 3zeta (2)zeta (3)-{ frac {11}{2}}zeta (5)}$	OEIS: A258983
4	2	0.088483382454368714294327839086	${displaystyle left(zeta (3)ight)^{2}-{ frac {4}{3}}zeta (6)}$	OEIS: A258984
5	2	0.038575124342753255505925464373	${displaystyle 5zeta (2)zeta (5)+2zeta (3)zeta (4)-11zeta (7)}$	OEIS: A258985
6	2	0.017819740416835988		OEIS: A258947
2	3	0.711566197550572432096973806086	${displaystyle { frac {9}{2}}zeta (5)-2zeta (2)zeta (3)}$	OEIS: A258986
3	3	0.213798868224592547099583574508	${displaystyle { frac {1}{2}}left(left(zeta (3)ight)^{2}-zeta (6)ight)}$	A258987
4	3	0.085159822534833651406806018872	${displaystyle 17zeta (7)-10zeta (2)zeta (5)}$	A258988
5	3	0.037707672984847544011304782294	${displaystyle 5zeta (3)zeta (5)-{ frac {147}{24}}zeta (8)-{ frac {5}{2}}zeta (6,2)}$	A258982
2	4	0.674523914033968140491560608257	${displaystyle { frac {25}{12}}zeta (6)-left(zeta (3)ight)^{2}}$	A258989
3	4	0.207505014615732095907807605495	${displaystyle 10zeta (2)zeta (5)+zeta (3)zeta (4)-18zeta (7)}$	A258990
4	4	0.083673113016495361614890436542	${displaystyle { frac {1}{2}}left(left(zeta (4)ight)^{2}-zeta (8)ight)}$	A258991

Обратите внимание, что если ${displaystyle s+t=2p+2}$ у нас есть ${displaystyle p/3}$ неприводимые, т.е. эти MZV не могут быть записаны как функции ${displaystyle zeta (a)}$ только.^[5]

Случай трех параметров

В частном случае у нас есть только три параметра (с a> 1 и целым числом n, j, i):

${displaystyle zeta (a,b,c)=sum _{n>j>igeq 1} {frac {1}{n^{a}j^{b}i^{c}}}=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{(n+2)^{a}}}sum _{j=1}^{n}{frac {1}{(j+1)^{b}}}sum _{i=1}^{j}{frac {1}{(i)^{c}}}=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{(n+2)^{a}}}sum _{j=1}^{n}{frac {H_{i,c}}{(j+1)^{b}}}}$

Формула отражения Эйлера

Вышеупомянутые MZV удовлетворяют формуле Эйлера отражения:

${displaystyle zeta (a,b)+zeta (b,a)=zeta (a)zeta (b)-zeta (a+b)}$ для ${displaystyle a,b>1}$

Используя отношения перемешивания, легко доказать, что:^[5]

${displaystyle zeta (a,b,c)+zeta (a,c,b)+zeta (b,a,c)+zeta (b,c,a)+zeta (c,a,b)+zeta (c,b,a)=zeta (a)zeta (b)zeta (c)+2zeta (a+b+c)-zeta (a)zeta (b+c)-zeta (b)zeta (a+c)-zeta (c)zeta (a+b)}$ для ${displaystyle a,b,c>1}$

Эту функцию можно рассматривать как обобщение формул отражения.

Симметричные суммы в терминах дзета-функции

Позволять ${displaystyle S(i_{1},i_{2},cdots ,i_{k})=sum _{n_{1}geq n_{2}geq cdots n_{k}geq 1}{frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}cdots n_{k}^{i_{k}}}}}$, а для раздела ${displaystyle Pi ={P_{1},P_{2},dots ,P_{l}}}$ из набора ${displaystyle {1,2,dots ,k}}$, позволять ${displaystyle c(Pi )=(left|P_{1}ight|-1)!(left|P_{2}ight|-1)!cdots (left|P_{l}ight|-1)!}$. Кроме того, учитывая такой ${displaystyle Pi }$ и k-кортеж ${displaystyle i={i_{1},...,i_{k}}}$ экспонент, определим ${displaystyle prod _{s=1}^{l}zeta (sum _{jin P_{s}}i_{j})}$.

Отношения между ${displaystyle zeta }$ и ${displaystyle S}$ находятся:${displaystyle S(i_{1},i_{2})=zeta (i_{1},i_{2})+zeta (i_{1}+i_{2})}$ и ${displaystyle S(i_{1},i_{2},i_{3})=zeta (i_{1},i_{2},i_{3})+zeta (i_{1}+i_{2},i_{3})+zeta (i_{1},i_{2}+i_{3})+zeta (i_{1}+i_{2}+i_{3})}$

Теорема 1 (Хоффман)

Для любого реального ${displaystyle i_{1},cdots ,i_{k}>1,}$, ${displaystyle sum _{sigma in sum _{k}}S(i_{sigma (1)},dots ,i_{sigma (k)})=sum _{{ ext{partitions }}Pi { ext{ of }}{1,dots ,k}}c(Pi )zeta (i,Pi )}$.

Доказательство. Предположим, что ${displaystyle i_{j}}$ все разные. (Здесь нет потери общности, поскольку мы можем брать пределы.) Левая часть может быть записана как${displaystyle sum _{sigma }sum _{n_{1}geq n_{2}geq cdots geq n_{k}geq 1}{frac {1}{{n^{i_{1}}}_{sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{sigma (2)}cdots {n^{i_{k}}}_{sigma (k)}}}}$. Теперь думая о симметричном

группа ${displaystyle sum _{k}}$ как действующий на набор k ${displaystyle n=(1,cdots ,k)}$ натуральных чисел. Заданный k-кортеж ${displaystyle n=(n_{1},cdots ,n_{k})}$ имеет группу изотропии

${displaystyle sum _{k}(n)}$ и связанный раздел ${displaystyle Lambda }$ из ${displaystyle (1,2,cdots ,k)}$: ${displaystyle Lambda }$ - множество классов эквивалентности отношения, заданного формулой ${displaystyle isim j}$ если только ${displaystyle n_{i}=n_{j}}$, и ${displaystyle sum _{k}(n)={sigma in sum _{k}:sigma (i)sim forall i}}$. Теперь срок ${displaystyle {frac {1}{{n^{i_{1}}}_{sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{sigma (2)}cdots {n^{i_{k}}}_{sigma (k)}}}}$ находится в левой части ${displaystyle sum _{sigma in sum _{k}}S(i_{sigma (1)},dots ,i_{sigma (k)})=sum _{{ ext{partitions }}Pi { ext{ of }}{1,dots ,k}}c(Pi )zeta (i,Pi )}$ именно так ${displaystyle left|sum _{k}(n)ight|}$ раз. Он встречается в правой части тех членов, которые соответствуют разбиениям ${displaystyle Pi }$ это уточнения ${displaystyle Lambda }$: позволяя ${displaystyle succeq }$ обозначают уточнение, ${displaystyle {frac {1}{{n^{i_{1}}}_{sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{sigma (2)}cdots {n^{i_{k}}}_{sigma (k)}}}}$ происходит ${displaystyle sum _{Pi succeq Lambda }(Pi )}$ раз. Таким образом, вывод последует, если ${displaystyle left|sum _{k}(n)ight|=sum _{Pi succeq Lambda }c(Pi )}$ для любого набора k ${displaystyle n={n_{1},cdots ,n_{k}}}$ и связанный раздел ${displaystyle Lambda }$Чтобы увидеть это, обратите внимание, что ${displaystyle c(Pi )}$ подсчитывает перестановки, имеющие тип цикла, указанный ${displaystyle Pi }$: поскольку любые элементы ${displaystyle sum _{k}(n)}$ имеет уникальный тип цикла, заданный разделом, который уточняет ${displaystyle Lambda }$, результат следует.^[6]

Для ${displaystyle k=3}$, теорема говорит ${displaystyle sum _{sigma in sum _{3}}S(i_{sigma (1)},i_{sigma (2)},i_{sigma (3)})=zeta (i_{1})zeta (i_{2})zeta (i_{3})+zeta (i_{1}+i_{2})zeta (i_{3})+zeta (i_{1})zeta (i_{2}+i_{3})+zeta (i_{1}+i_{3})zeta (i_{2})+2zeta (i_{1}+i_{2}+i_{3})}$для ${displaystyle i_{1},i_{2},i_{3}>1}$. Это главный результат.^[7]

Имея ${displaystyle zeta (i_{1},i_{2},cdots ,i_{k})=sum _{n_{1}>n_{2}>cdots n_{k}geq 1}{frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}cdots n_{k}^{i_{k}}}}}$. Чтобы сформулировать аналог теоремы 1 для ${displaystyle zeta 's}$, нам потребуется одно небольшое обозначение. Для перегородки

${displaystyle Pi ={P_{1},cdots ,P_{l}}}$ или ${displaystyle {1,2cdots ,k}}$, позволять ${displaystyle { ilde {c}}(Pi )=(-1)^{k-l}c(Pi )}$.

Теорема 2 (Хоффман).

Для любого реального ${displaystyle i_{1},cdots ,i_{k}>1}$, ${displaystyle sum _{sigma in sum _{k}}zeta (i_{sigma (1)},dots ,i_{sigma (k)})=sum _{{ ext{partitions }}Pi { ext{ of }}{1,dots ,k}}{ ilde {c}}(Pi )zeta (i,Pi )}$.

Доказательство. Мы следуем той же схеме рассуждений, что и в предыдущем доказательстве. Левая часть теперь${displaystyle sum _{sigma }sum _{n_{1}>n_{2}>cdots >n_{k}geq 1}{frac {1}{{n^{i_{1}}}_{sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{sigma (2)}cdots {n^{i_{k}}}_{sigma (k)}}}}$, и срок ${displaystyle {frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}cdots n_{k}^{i_{k}}}}}$ встречается слева, поскольку один раз, если все ${displaystyle n_{i}}$ различны, и никак иначе. Таким образом, достаточно показать ${displaystyle sum _{Pi succeq Lambda }{ ilde {c}}(Pi )={egin{cases}1,{ ext{ if }}left|Lambda ight|=k�,{ ext{ otherwise }}.end{cases}}}$ (1)

Чтобы доказать это, заметим сначала, что знак ${displaystyle { ilde {c}}(Pi )}$ положительна, если перестановки циклического типа ${displaystyle Pi }$ четные и отрицательные, если они нечетные: таким образом, левая часть (1) представляет собой сумму со знаком числа четных и нечетных перестановок в группе изотропии ${displaystyle sum _{k}(n)}$. Но такая группа изотропии имеет равное количество четных и нечетных перестановок, если только она не является тривиальной, т.е. если ассоциированное разбиение ${displaystyle Lambda }$ является ${displaystyle {{1},{2},cdots ,{k}}}$.^[6]

Гипотезы о сумме и двойственности^[6]

Сначала сформулируем гипотезу о сумме, которая принадлежит К. Моэну.^[8]

Гипотеза суммы (Хоффман). Для натуральных чисел k и n${displaystyle sum _{i_{1}+cdots +i_{k}=n,i_{1}>1}zeta (i_{1},cdots ,i_{k})=zeta (n)}$, где сумма распространяется на наборы из k ${displaystyle i_{1},cdots ,i_{k}}$ натуральных чисел с ${displaystyle i_{1}>1}$.

Сделаем три замечания по поводу этой гипотезы. Во-первых, это подразумевает${displaystyle sum _{i_{1}+cdots +i_{k}=n,i_{1}>1}S(i_{1},cdots ,i_{k})={n-1 choose k-1}zeta (n)}$. Во-вторых, в случае ${displaystyle k=2}$ это говорит, что ${displaystyle zeta (n-1,1)+zeta (n-2,2)+cdots +zeta (2,n-2)=zeta (n)}$, или используя соотношение между ${displaystyle zeta 's}$ и ${displaystyle S's}$ и теорема 1, ${displaystyle 2S(n-1,1)=(n+1)zeta (n)-sum _{k=2}^{n-2}zeta (k)zeta (n-k).}$

Это было доказано Эйлером.^[9] и был переоткрыт несколько раз, в частности Уильямсом.^[10] Наконец, К. Моэн^[8] доказал ту же гипотезу для k = 3 с помощью длинных, но элементарных аргументов. Для гипотезы двойственности мы сначала определим инволюцию ${displaystyle au }$ на съемочной площадке ${displaystyle Im }$ конечных последовательностей натуральных чисел, первый элемент которых больше 1. Пусть ${displaystyle mathrm {T} }$ - множество строго возрастающих конечных последовательностей натуральных чисел, и пусть ${displaystyle Sigma :Im ightarrow mathrm {T} }$ быть функцией, которая отправляет последовательность в ${displaystyle Im }$ к его последовательности частичных сумм. Если ${displaystyle mathrm {T} _{n}}$ - множество последовательностей в ${displaystyle mathrm {T} }$ чей последний элемент не больше ${displaystyle n}$, имеем две коммутирующие инволюции ${displaystyle R_{n}}$ и ${displaystyle C_{n}}$ на ${displaystyle mathrm {T} _{n}}$ определяется ${displaystyle R_{n}(a_{1},a_{2},cdots ,a_{l})=(n+1-a_{l},n+1-a_{l-1},cdots ,n+1-a_{1})}$ и ${displaystyle C_{n}(a_{1},cdots ,a_{l})}$ = дополнение ${displaystyle {a_{1},cdots ,a_{l}}}$ в ${displaystyle {1,2,cdots ,n}}$ расположены в порядке возрастания. Наше определение ${displaystyle au }$ является ${displaystyle au (I)=Sigma ^{-1}R_{n}C_{n}Sigma (I)=Sigma ^{-1}C_{n}R_{n}Sigma (I)}$ для ${displaystyle I=(i_{1},i_{2},cdots ,i_{k})in Im }$ с участием ${displaystyle i_{1}+cdots +i_{k}=n}$.

Например,${displaystyle au (3,4,1)=Sigma ^{-1}C_{8}R_{8}(3,7,8)=Sigma ^{-1}(3,4,5,7,8)=(3,1,1,2,1).}$Будем говорить, что последовательности ${displaystyle (i_{1},cdots ,i_{k})}$ и ${displaystyle au (i_{1},cdots ,i_{k})}$ двойственны друг другу и относятся к последовательности, фиксированной ${displaystyle au }$ как самодвойственный.^[6]

Гипотеза двойственности (Хоффман). Если ${displaystyle (h_{1},cdots ,h_{n-k})}$ двойственен ${displaystyle (i_{1},cdots ,i_{k})}$, тогда ${displaystyle zeta (h_{1},cdots ,h_{n-k})=zeta (i_{1},cdots ,i_{k})}$.

Эта гипотеза о сумме также известна как Теорема о сумме, и это может быть выражено следующим образом: дзета-значение Римана целого числа п ≥ 2 равно сумме всех действительных (т.е. с s₁ > 1) МЗВ перегородки длины k и вес п, при 1 ≤k ≤п - 1. В формуле:^[3]

${displaystyle sum _{stackrel {s_{1}+cdots +s_{k}=n}{s_{1}>1}}zeta (s_{1},ldots ,s_{k})=zeta (n)}$

Например с длиной k = 2 и вес п = 7:

${displaystyle zeta (6,1)+zeta (5,2)+zeta (4,3)+zeta (3,4)+zeta (2,5)=zeta (7)}$

Сумма Эйлера со всеми возможными сменами знака

Сумма Эйлера с чередованием знака появляется в исследованиях непеременной суммы Эйлера.^[5]

Обозначение

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {H_{n}^{(b)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{a}}}=zeta ({ar {a}},b)}$ с участием ${displaystyle H_{n}^{(b)}=+1+{frac {1}{2^{b}}}+{frac {1}{3^{b}}}+cdots }$ являются обобщенные гармонические числа.

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {{ar {H}}_{n}^{(b)}}{(n+1)^{a}}}=zeta (a,{ar {b}})}$ с участием ${displaystyle {ar {H}}_{n}^{(b)}=-1+{frac {1}{2^{b}}}-{frac {1}{3^{b}}}+cdots }$

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {{ar {H}}_{n}^{(b)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{a}}}=zeta ({ar {a}},{ar {b}})}$

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(n+2)^{a}}}sum _{n=1}^{infty }{frac {{ar {H}}_{n}^{(c)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{b}}}=zeta ({ar {a}},{ar {b}},{ar {c}})}$ с участием ${displaystyle {ar {H}}_{n}^{(c)}=-1+{frac {1}{2^{c}}}-{frac {1}{3^{c}}}+cdots }$

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(n+2)^{a}}}sum _{n=1}^{infty }{frac {H_{n}^{(c)}}{(n+1)^{b}}}=zeta ({ar {a}},b,c)}$ с участием ${displaystyle H_{n}^{(c)}=+1+{frac {1}{2^{c}}}+{frac {1}{3^{c}}}+cdots }$

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{(n+2)^{a}}}sum _{n=1}^{infty }{frac {H_{n}^{(c)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{b}}}=zeta (a,{ar {b}},c)}$

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{(n+2)^{a}}}sum _{n=1}^{infty }{frac {{ar {H}}_{n}^{(c)}}{(n+1)^{b}}}=zeta (a,b,{ar {c}})}$

Как вариант Эта функция Дирихле мы определяем

${displaystyle phi (s)={frac {1-2^{(s-1)}}{2^{(s-1)}}}zeta (s)}$ с участием ${displaystyle s>1}$

${displaystyle phi (1)=-ln 2}$

Формула отражения

Формула отражения ${displaystyle zeta (a,b)+zeta (b,a)=zeta (a)zeta (b)-zeta (a+b)}$ можно обобщить следующим образом:

${displaystyle zeta (a,{ar {b}})+zeta ({ar {b}},a)=zeta (a)phi (b)-phi (a+b)}$

${displaystyle zeta ({ar {a}},b)+zeta (b,{ar {a}})=zeta (b)phi (a)-phi (a+b)}$

${displaystyle zeta ({ar {a}},{ar {b}})+zeta ({ar {b}},{ar {a}})=phi (a)phi (b)-zeta (a+b)}$

если ${displaystyle a=b}$ у нас есть ${displaystyle zeta ({ar {a}},{ar {a}})={ frac {1}{2}}{Big [}phi ^{2}(a)-zeta (2a){Big ]}}$

Прочие отношения

Используя определение ряда, легко доказать:

${displaystyle zeta (a,b)+zeta (a,{ar {b}})+zeta ({ar {a}},b)+zeta ({ar {a}},{ar {b}})={frac {zeta (a,b)}{2^{(a+b-2)}}}}$ с участием ${displaystyle a>1}$

${displaystyle zeta (a,b,c)+zeta (a,b,{ar {c}})+zeta (a,{ar {b}},c)+zeta ({ar {a}},b,c)+zeta (a,{ar {b}},{ar {c}})+zeta ({ar {a}},b,{ar {c}})+zeta ({ar {a}},{ar {b}},c)+zeta ({ar {a}},{ar {b}},{ar {c}})={frac {zeta (a,b,c)}{2^{(a+b+c-3)}}}}$ с участием ${displaystyle a>1}$

Еще одно полезное соотношение:^[5]

${displaystyle zeta (a,b)+zeta ({ar {a}},{ar {b}})=sum _{s>0}(a+b-s-1)!{Big [}{frac {Z_{a}(a+b-s,s)}{(a-s)!(b-1)!}}+{frac {Z_{b}(a+b-s,s)}{(b-s)!(a-1)!}}{Big ]}}$

где ${displaystyle Z_{a}(s,t)=zeta (s,t)+zeta ({ar {s}},t)-{frac {{Big [}zeta (s,t)+zeta (s+t){Big ]}}{2^{(s-1)}}}}$ и ${displaystyle Z_{b}(s,t)={frac {zeta (s,t)}{2^{(s-1)}}}}$

Обратите внимание, что ${displaystyle s}$ должен использоваться для всех значений ${displaystyle >1}$ для кого аргумент факториалов ${displaystyle geqslant 0}$

Другие результаты

Для любого положительного целого числа:${displaystyle a,b,dots ,k}$:

${displaystyle sum _{n=2}^{infty }zeta (n,k)=zeta (k+1)}$ или в более общем плане:

${displaystyle sum _{n=2}^{infty }zeta (n,a,b,dots ,k)=zeta (a+1,b,dots ,k)}$

${displaystyle sum _{n=2}^{infty }zeta (n,{ar {k}})=-phi (k+1)}$

${displaystyle sum _{n=2}^{infty }zeta (n,{ar {a}},b)=zeta ({overline {a+1}},b)}$

${displaystyle sum _{n=2}^{infty }zeta (n,a,{ar {b}})=zeta (a+1,{ar {b}})}$

${displaystyle sum _{n=2}^{infty }zeta (n,{ar {a}},{ar {b}})=zeta ({overline {a+1}},{ar {b}})}$

${displaystyle lim _{k o infty }zeta (n,k)=zeta (n)-1}$

${displaystyle 1-zeta (2)+zeta (3)-zeta (4)+cdots =|{frac {1}{2}}|}$

${displaystyle zeta (a,a)={ frac {1}{2}}{Big [}(zeta (a))^{2}-zeta (2a){Big ]}}$

${displaystyle zeta (a,a,a)={ frac {1}{6}}(zeta (a))^{3}+{ frac {1}{3}}zeta (3a)-{ frac {1}{2}}zeta (a)zeta (2a)}$

Дзета-значения Морделла – Торнхейма

Дзета-функция Морделла – Торнхейма, введенная Мацумото (2003) кто был мотивирован газетами Морделл (1958) и Торнхейм (1950), определяется

${displaystyle zeta _{MT,r}(s_{1},dots ,s_{r};s_{r+1})=sum _{m_{1},dots ,m_{r}>0}{frac {1}{m_{1}^{s_{1}}cdots m_{r}^{s_{r}}(m_{1}+dots +m_{r})^{s_{r+1}}}}}$

Это частный случай Дзета-функция Синтани.

использованная литература

• Торнхейм, Леонард (1950). «Гармонический двойной ряд». Американский журнал математики. 72 (2): 303–314. Дои:10.2307/2372034. ISSN  0002-9327. JSTOR  2372034. Г-Н  0034860.
• Морделл, Луи Дж. (1958). «Об оценке нескольких серий». Журнал Лондонского математического общества. Вторая серия. 33 (3): 368–371. Дои:10.1112 / jlms / s1-33.3.368. ISSN  0024-6107. Г-Н  0100181.
• Апостол, Том М.; Ву, Тьенну Х. (1984), "Ряд Дирихле, связанный с дзета-функцией Римана", Журнал теории чисел, 19 (1): 85–102, Дои:10.1016 / 0022-314X (84) 90094-5, ISSN  0022-314X, Г-Н  0751166
• Crandall, Ричард Э .; Бюлер, Джо П. (1994). «Об оценке сумм Эйлера». Экспериментальная математика. 3 (4): 275. Дои:10.1080/10586458.1994.10504297. Г-Н  1341720.
• Borwein, Jonathan M .; Гиргенсон, Роланд (1996). «Оценка тройных сумм Эйлера». Эл. J. Combinat. 3 (1): # R23. Г-Н  1401442.
• Флажолет, Филипп; Салви, Бруно (1998). «Суммы Эйлера и контурные интегральные представления». Exp. Математика. 7: 15–35. CiteSeerX  10.1.1.37.652. Дои:10.1080/10586458.1998.10504356.
• Чжао, Цзяньцян (1999). «Аналитическое продолжение множества дзета-функций». Труды Американского математического общества. 128 (5): 1275–1283. Дои:10.1090 / S0002-9939-99-05398-8. Г-Н  1670846.
• Мацумото, Коджи (2003), «О Морделле – Торнхейме и других множественных дзета-функциях», Труды занятия по аналитической теории чисел и диофантовым уравнениям, Bonner Math. Шрифтен, 360, Бонн: Univ. Бонн, Г-Н  2075634
• Эспиноза, Оливье; Молл, Виктор Х. (2008). «Оценка двойных сумм Торнхейма». arXiv:математика / 0505647.
• Эспиноза, Оливье; Молл, Виктор Х. (2010). «Оценка двойных сумм Торнхейма II». Рамануджан Дж.. 22: 55–99. arXiv:0811.0557. Дои:10.1007 / s11139-009-9181-1. Г-Н  2610609.
• Борвейн, Дж.; Чан, О-Й. (2010). «Двойственность в хвостах множества дзета-значений». Int. J. Теория чисел. 6 (3): 501–514. CiteSeerX  10.1.1.157.9158. Дои:10.1142 / S1793042110003058. Г-Н  2652893.
• Басу, Анкур (2011). «Об оценке сумм Торнхейма и смежных двойных сумм». Рамануджан Дж.. 26 (2): 193–207. Дои:10.1007 / s11139-011-9302-5. Г-Н  2853480.

Заметки

1. Чжао, Цзяньцян (2010). «Стандартные отношения множественных значений полилогарифма в корнях единицы». Documenta Mathematica. 15: 1–34. arXiv:0707.1459.
2. Чжао, Цзяньцян (2016). Множественные дзета-функции, множественные полилогарифмы и их особые значения. Серия по теории чисел и ее приложениям. 12. Мировое научное издательство. Дои:10.1142/9634. ISBN  978-981-4689-39-7.
3. Хоффман, Майк. "Множественные Дзеты". Домашняя страница Майка Хоффмана. Военно-морская академия США. Получено 8 июня, 2012.
4. Борвейн, Дэвид; Борвейн, Джонатан; Брэдли, Дэвид (23 сентября 2004 г.). «Параметрические тождества суммы Эйлера» (PDF). CARMA, курс отличия AMSI. Университет Ньюкасла. Получено 3 июня, 2012.
5. Бродхерст, Д. Дж. (1996). «О перечислении неприводимых k-кратных сумм Эйлера и их роли в теории узлов и теории поля». arXiv:hep-th / 9604128.
6. Хоффман, Майкл (1992). «Множественный гармонический ряд». Тихоокеанский математический журнал. 152 (2): 276–278. Дои:10.2140 / pjm.1992.152.275. Г-Н  1141796. Zbl  0763.11037.
7. Рамачандра Рао, Р. Сита; М. В. Суббарао (1984). «Формулы преобразования для нескольких серий». Тихоокеанский математический журнал. 113 (2): 417–479. Дои:10.2140 / pjm.1984.113.471.
8. Моэн, К. «Суммы простых рядов». Препринт.
9. Эйлер, Л. (1775). "Meditationes circa singulare serierum genus". Novi Comm. Акад. Sci. Петрополь. 15 (20): 140–186.
10. Уильямс, Г. Т. (1958). «Об оценке нескольких серий». Журнал Лондонского математического общества. 33 (3): 368–371. Дои:10.1112 / jlms / s1-33.3.368.

внешние ссылки

• Борвейн, Джонатан; Зудилин, Вадим. «Конспект лекций по множественной дзета-функции».
• Хоффман, Майкл (2012). «Множественные дзета-значения».
• Чжао, Цзяньцян (2016). Множественные дзета-функции, множественные полилогарифмы и их особые значения. Серия по теории чисел и ее приложениям. 12. Мировое научное издательство. Дои:10.1142/9634. ISBN  978-981-4689-39-7.
• Бургос Хиль, Хосе Игнасио; Фресан, Хавьер. «Множественные дзета-значения: от чисел к мотивам» (PDF).