Мультисимплектический интегратор - Multisymplectic integrator

В математика, а мультисимплектический интегратор это численный метод для решения определенного класса уравнения в частных производных, которые называются мультисимплектическими. Мультисимплектические интеграторы - это геометрические интеграторы, что означает, что они сохраняют геометрию задач; в частности, численный метод сохраняет энергию и импульс в некотором смысле, как и само уравнение в частных производных. Примеры мультисимплектических интеграторов включают схему ящика Эйлера и схему ящика Прейсмана.

Мультисимплектические уравнения

Уравнение в частных производных (PDE) называется мультисимплектическое уравнение если это можно записать в виде

${\displaystyle Kz_{t}+Lz_{x}=\nabla S(z),}$

куда ${\displaystyle z(t,x)}$ это неизвестное, ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle L}$ являются (постоянными) кососимметричные матрицы и ${\displaystyle \nabla S}$ обозначает градиент из ${\displaystyle S}$.^[1] Это естественное обобщение ${\displaystyle Jz_{t}=\nabla H(z)}$, форма Гамильтониан ОДУ.^[2]

Примеры мультисимплектических УЧП включают нелинейные Уравнение Клейна – Гордона ${\displaystyle u_{tt}-u_{xx}=V'(u)}$, или, в более общем смысле, нелинейное волновое уравнение ${\displaystyle u_{tt}=\partial _{x}\sigma '(u_{x})-f'(u)}$,^[3] и Уравнение КдВ ${\displaystyle u_{t}+uu_{x}+u_{xxx}=0}$.^[4]

Определить 2-формы ${\displaystyle \omega }$ и ${\displaystyle \kappa }$ к

${\displaystyle \omega (u,v)=\langle Ku,v\rangle \quad {\text{and}}\quad \kappa (u,v)=\langle Lu,v\rangle }$

куда ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$ обозначает скалярное произведение. Дифференциальное уравнение сохраняет симплектичность в том смысле, что

${\displaystyle \partial _{t}\omega +\partial _{x}\kappa =0.}$^[5]

Взяв скалярное произведение PDE с ${\displaystyle u_{t}}$ дает местный закон сохранения для энергии:

${\displaystyle \partial _{t}E(u)+\partial _{x}F(u)=0\quad {\text{where}}\quad E(u)=S(u)-{\tfrac {1}{2}}\kappa (u_{x},u),\,F(u)={\tfrac {1}{2}}\kappa (u_{t},u).}$^[6]

Аналогично выводится локальный закон сохранения количества движения:

${\displaystyle \partial _{t}I(u)+\partial _{x}G(u)=0\quad {\text{where}}\quad I(u)={\tfrac {1}{2}}\omega (u_{x},u),\,G(u)=S(u)-{\tfrac {1}{2}}\omega (u_{t},u).}$^[6]

Схема ящика Эйлера

Мультисимплектический интегратор - это численный метод решения мультисимплектических уравнений в частных производных, численное решение которых сохраняет дискретную форму симплектичности.^[7] Одним из примеров является схема блока Эйлера, которая получается путем применения симплектический метод Эйлера каждой независимой переменной.^[8]

Схема блока Эйлера использует расщепление кососимметричных матриц ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle L}$ формы:

${\displaystyle {\begin{aligned}K&=K_{+}+K_{-}\quad {\text{with}}\quad K_{-}=-K_{+}^{T},\\L&=L_{+}+L_{-}\quad {\text{with}}\quad L_{-}=-L_{+}^{T}.\end{aligned}}}$

Например, можно взять ${\displaystyle K_{+}}$ и ${\displaystyle L_{+}}$ быть верхней треугольной частью ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle L}$, соответственно.^[9]

Теперь представьте равномерная сетка и разреши ${\displaystyle u_{n,i}}$ обозначим приближение к ${\displaystyle u(n\Delta {t},i\Delta {x})}$ куда ${\displaystyle \Delta {t}}$ и ${\displaystyle \Delta {x}}$ - шаг сетки во времени и пространстве. Тогда схема ящика Эйлера имеет вид

${\displaystyle K_{+}\partial _{t}^{+}u_{n,i}+K_{-}\partial _{t}^{-}u_{n,i}+L_{+}\partial _{x}^{+}u_{n,i}+L_{-}\partial _{x}^{-}u_{n,i}=\nabla {S}(u_{n,i})}$

где конечная разница операторы определяются

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}^{+}u_{n,i}&={\frac {u_{n+1,i}-u_{n,i}}{\Delta {t}}},&\partial _{x}^{+}u_{n,i}&={\frac {u_{n,i+1}-u_{n,i}}{\Delta {x}}},\\[1ex]\partial _{t}^{-}u_{n,i}&={\frac {u_{n,i}-u_{n-1,i}}{\Delta {t}}},&\partial _{x}^{-}u_{n,i}&={\frac {u_{n,i}-u_{n,i-1}}{\Delta {x}}}.\end{aligned}}}$ ^[10]

Схема блока Эйлера - это метод первого порядка,^[8] которое удовлетворяет дискретному закону сохранения

${\displaystyle \partial _{t}^{+}\omega _{n,i}+\partial _{x}^{+}\kappa _{n,i}=0\quad {\text{where}}\quad \omega _{n,i}=\mathrm {d} u_{n,i-1}\wedge K_{+}\,\mathrm {d} u_{n,i}\quad {\text{and}}\quad \kappa _{n,i}=\mathrm {d} u_{n-1,i}\wedge L_{+}\,\mathrm {d} u_{n,i}.}$^[11]

Схема коробки Прейсмана

Другой мультисимплектический интегратор - это схема ящиков Прейсмана, которая была введена Прейсманом в контексте гиперболических УЧП.^[12] Это также известно как схема с центрированной ячейкой.^[13] Схема ящика Прейсмана может быть получена путем применения Неявное правило средней точки, который является симплектическим интегратором, к каждой из независимых переменных.^[14] Это приводит к схеме

${\displaystyle K\partial _{t}^{+}u_{n,i+1/2}+L\partial _{x}^{+}u_{n+1/2,i}=\nabla {S}(u_{n+1/2,i+1/2}),}$

где конечно-разностные операторы ${\displaystyle \partial _{t}^{+}}$ и ${\displaystyle \partial _{x}^{+}}$ определены, как указано выше, а значения полуцелых чисел определены как

${\displaystyle u_{n,i+1/2}={\frac {u_{n,i}+u_{n,i+1}}{2}},\quad u_{n+1/2,i}={\frac {u_{n,i}+u_{n+1,i}}{2}},u_{n+1/2,i+1/2}={\frac {u_{n,i}+u_{n,i+1}+u_{n+1,i}+u_{n+1,i+1}}{4}}.}$ ^[14]

Схема ящика Прейсмана представляет собой мультисимплектический интегратор второго порядка, который удовлетворяет дискретному закону сохранения

${\displaystyle \partial _{t}^{+}\omega _{n,i}+\partial _{x}^{+}\kappa _{n,i}=0\quad {\text{where}}\quad \omega _{n,i}=\mathrm {d} u_{n,i+1/2}\wedge K\,\mathrm {d} u_{n,i+1/2}\quad {\text{and}}\quad \kappa _{n,i}=\mathrm {d} u_{n+1/2,i}\wedge L\,\mathrm {d} u_{n+1/2,i}.}$^[15]

Примечания

1. Мосты 1997, п. 1374; Леймкулер и Райх 2004, п. 335–336.
2. Мосты и Рейх 2001, п. 186.
3. Леймкулер и Райх 2004, п. 335.
4. Леймкулер и Райх 2004, п. 339–340.
5. Мосты и Рейх 2001, п. 186; Леймкулер и Райх 2004, п. 336.
6. Мосты и Рейх 2001, п. 187; Леймкулер и Райх 2004, п. 337–338.
7. Мосты и Рейх 2001, п. 187; Леймкулер и Райх 2004, п. 341.
8. Мур и Райх 2003.
9. Мур и Райх 2003; Леймкулер и Райх 2004, п. 337.
10. Мур и Райх 2003; Леймкулер и Райх 2004, п. 342.
11. Мур и Райх 2003; Леймкулер и Райх 2004, п. 343.
12. Мосты и Рейх (2001), п. 190) относится к Эбботт и Баско (1989) за работу Прейсмана.
13. Ислас и Шобер 2004, стр. 591–593.
14. Мосты и Рейх 2001, п. 190; Леймкулер и Райх 2004, п. 344.
15. Мосты и Рейх 2001, Thm 1; Леймкулер и Райх 2004, п. 345.

Рекомендации

• Abbott, M.B .; Баско, Д. (1989), Вычислительная гидродинамика, Longman Scientific.
• Мосты, Томас Дж. (1997), «Геометрическая формулировка сохранения волнового воздействия и его значение для сигнатуры и классификации неустойчивостей» (PDF), Proc. R. Soc. Лондон. А, 453 (1962): 1365–1395, Дои:10.1098 / RSPA.1997.0075.
• Бриджес, Томас Дж .; Райх, Себиастиан (2001), "Мультисимплектические интеграторы: численные схемы для гамильтоновых уравнений в частных производных, сохраняющих симплектичность", Phys. Lett. А, 284 (4–5): 184–193, CiteSeerX  10.1.1.46.2783, Дои:10.1016 / S0375-9601 (01) 00294-8.
• Леймкухлер, Бенедикт; Райх, Себастьян (2004), Моделирование гамильтоновой динамики, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-77290-7.
• Islas, A.L .; Шобер, К. (2004), «О сохранении структуры фазового пространства при мультисимплектической дискретизации», J. Comput. Phys., 197 (2): 585–609, Дои:10.1016 / j.jcp.2003.12.010.
• Мур, Брайан; Райх, Себастьян (2003), "Обратный анализ ошибок для мультисимплектических методов интегрирования", Нумер. Математика., 95 (4): 625–652, CiteSeerX  10.1.1.163.8683, Дои:10.1007 / s00211-003-0458-9.