Граф ближайшего соседа - Nearest neighbor graph

График ближайшего соседа из 100 точек в Евклидова плоскость.

В граф ближайшего соседа (NNG) для набора п объекты п в метрическое пространство (например, для набора точек в самолет с Евклидово расстояние ) это ориентированный граф с п множество его вершин и с направленный край из п к q в любое время q ближайший сосед п (т.е. расстояние от п к q не больше чем от п к любому другому объекту из п).[1]

Во многих обсуждениях направления ребер игнорируются, а NNG определяется как обычный (ненаправленный) график. Однако отношение ближайшего соседа не является симметричный, т.е. п из определения не обязательно ближайший сосед для q.

В некоторых обсуждениях, чтобы сделать ближайшего соседа для каждого объекта уникальным, набор п индексируется, и в случае привязки объект, например, самый большой индекс берется для ближайшего соседа.[2]

В k-граф ближайшего соседа (k-NNG) - граф, в котором две вершины п и q связаны ребром, если расстояние между п и q входит в число k-е наименьшее расстояние от п на другие объекты из п. NNG - это частный случай k-NNG, а именно это 1-NNG. k-NNG подчиняются теорема о разделителе: их можно разбить на два подграфа не более п(d + 1)/(d + 2) вершин удалением O (k1/dп1 − 1/d) точки.[3]

Другой частный случай - это (п - 1) -NNG. Этот граф называется граф самого дальнего соседа (FNG).

В теоретических обсуждениях алгоритмов своего рода общая позиция Часто предполагается, что ближайший (k-ближайший) сосед уникален для каждого объекта. При реализации алгоритмов необходимо иметь в виду, что это не всегда так.

NNG для точек на плоскости, а также в многомерных пространствах находят применение, например, в Сжатие данных, планирование движения, и расположение объектов. В статистический анализ, то алгоритм цепочки ближайших соседей на основе следующих пути в этом графике можно использовать, чтобы найти иерархические кластеры быстро. Графы ближайших соседей также являются предметом вычислительная геометрия.

NNG для наборов точек

Одномерный случай

Для набора точек на линии ближайшим соседом точки является ее левый или правый (или оба) сосед, если они отсортированы по линии. Следовательно, NNG является дорожка или лес нескольких путей и могут быть построены в О (п бревно п) время по сортировка. Эта оценка асимптотически оптимальный для некоторых модели вычислений, поскольку построенный NNG дает ответ на проблема уникальности элемента : достаточно проверить, имеет ли NNG край нулевой длины.[4]

Высшие измерения

Если не указано иное, предполагается, что NNG являются орграфами с однозначно определенными ближайшими соседями, как описано во введении.

  1. Вдоль любого направленного пути в NNG длины ребер не увеличиваются.[2]
  2. В NNG возможны только циклы длины 2, и каждый слабосвязный компонент NNG с минимум двумя вершинами имеет ровно один 2-цикл.[2]
  3. Для точек на плоскости NNG является планарный граф с степени вершины не более 6. Если точки в общая позиция, степень не выше 5.[2]
  4. NNG (рассматриваемый как неориентированный граф с несколькими разрешенными ближайшими соседями) набора точек на плоскости или в любом более высоком измерении является подграфом Триангуляция Делоне, то Габриэль граф, а Полу-Яо график.[5] Если точки находятся в общем положении или если наложено условие единственного ближайшего соседа, NNG является лес, подграф Евклидово минимальное остовное дерево.

Рекомендации

  1. ^ Франко П. Препарата и Майкл Ян Шамос (1985). Вычислительная геометрия - Введение. Springer-Verlag. ISBN  0-387-96131-3. 1-е издание:; 2-е издание, исправленное и расширенное, 1988 г .:; Русский перевод, 1989.
  2. ^ а б c d Эппштейн, Д.; Патерсон, М.С.; Яо, Фрэнсис (1997). «На графах ближайшего соседа». Дискретная и вычислительная геометрия. 17 (3): 263–282. Дои:10.1007 / PL00009293.
  3. ^ Миллер, Гэри Л.; Тэн, Шан-Хуа; Терстон, Уильям; Вавасис, Стивен А. (1997). «Разделители для сфер-упаковок и графов ближайших соседей». J. ACM. 44 (1): 1–29. Дои:10.1145/256292.256294.
  4. ^ Аггарвал, Алок; Кипнис, Шломо (август 1988 г.). «Лекция № 10, 10 марта 1988 г .: Ближайшая пара». В Аггарвале, Алок; Вейн, Джоэл (ред.). Вычислительная геометрия: конспект лекций за 18.409, весна 1988 г.. Лаборатория компьютерных наук Массачусетского технологического института. Наблюдение 1, с. 2.
  5. ^ Rahmati, Z .; Кинг, В.; Уайтсайдс, С. (2013). Кинетические структуры данных для всех ближайших соседей и ближайшей пары на плоскости. Материалы 29-го симпозиума ACM по вычислительной геометрии. С. 137–144. Дои:10.1145/2462356.2462378.

внешняя ссылка