Почти кэлерово многообразие - Nearly Kähler manifold

В математике почти кэлерово многообразие является почти эрмитово многообразие ${\displaystyle M}$, с почти сложная структура ${\displaystyle J}$, такая, что (2,1) -тензор ${\displaystyle \nabla J}$ является кососимметричный. Так,

${\displaystyle (\nabla _{X}J)X=0}$

для каждого векторного поля ${\displaystyle X}$ на ${\displaystyle M}$.

В частности, Кэлерово многообразие почти Келер. Обратное неверно. Например, почти кэлерова шестисфера ${\displaystyle S^{6}}$ является примером почти кэлерова многообразия, которое не является кэлеровым.^[1] Знакомая почти сложная структура на шести сферах не вызвана сложным атласом на ${\displaystyle S^{6}}$. Обычно некелеровы почти келеровы многообразия называют «строгими почти кэлеровыми многообразиями».

Почти кэлеровы многообразия, также известные как многообразия почти Тачибаны, были изучены Шунити Тачибаной в 1959 г.^[2] а затем Альфред Грей с 1970 г.^[3]Например, было доказано, что любое 6-мерное строгое почти кэлерово многообразие является Многообразие Эйнштейна и имеет исчезающий первый класс Черна (в частности, это означает спин). В 1980-х годах строгие почти келеровы многообразия привлекали большое внимание из-за их связи с Killingspinors: Томас Фридрих и Ральф Грюневальд показал, что 6-мерное риманово многообразие допускает риманово киллинговый спинор тогда и только тогда, когда оно почти кэлерово.^[4] Позже этому было дано более фундаментальное объяснение. ^[5] Кристиана Бэра, указавшего, что это в точности 6-многообразия, для которых соответствующий 7-мерный риманов конус имеет голономию G₂.

Единственные компактные односвязные 6-многообразия, допускающие строгие почти кэлеровы метрики, - это ${\displaystyle S^{6},\mathbb {C} \mathbb {P} ^{3},\mathbb {P} (T\mathbb {CP} _{2})}$, и ${\displaystyle S^{3}\times S^{3}}$. Каждое из них допускает такую ​​единственную почти кэлерову метрику, которая также является однородной, и эти примеры фактически являются единственными компактными однородными строго почти кэлеровыми 6-многообразиями.^[6]Однако недавно Фосколо и Хаскинс показали, что ${\displaystyle S^{6}}$ и ${\displaystyle S^{3}\times S^{3}}$ также допускают строгие метрики, близкие к келеровым, которые не являются однородными.^[7]

Наблюдение Бэра о голономии римановых конусов может показаться указанием на то, что условие почти кэлера является наиболее естественным и интересным в размерности 6. Это фактически подтверждается теоремой Надя, который доказал, что любое строгое полное почти кэлерово многообразие является локально Риманово произведение однородных почти кэлеровых пространств, твисторных пространств над кватернионно-кэлеровыми многообразиями и 6-мерных почти кэлеровых многообразий.^[8]

Многообразия, близкие к келеровым, также представляют собой интересный класс многообразий, допускающих метрическую связность с параллельным вполне антисимметричным кручением.^[9]

Не следует путать почти кэлеровы многообразия с почти кэлеровы многообразия.Почти келерово многообразие ${\displaystyle M}$ - почти эрмитово многообразие с замкнутым Кэлерова форма:${\displaystyle d\omega =0}$. Кэлерова форма или фундаментальная 2-форма ${\displaystyle \omega }$ определяется

${\displaystyle \omega (X,Y)=g(JX,Y),}$

куда ${\displaystyle g}$ это метрика на ${\displaystyle M}$. Почти кэлерово условие и почти кэлерово условие по существу исключают: почти эрмитово многообразие одновременно и почти кэлерово, и почти кэлерово тогда и только тогда, когда оно кэлерово.

Рекомендации

1. Франки Диллен; Леопольд Верстрален (ред.). Справочник по дифференциальной геометрии. II. Северная Голландия. ISBN  978-0-444-82240-6.
2. Чен, Банг-Йен (2011). Псевдориманова геометрия, [дельта] -инварианты и приложения. Всемирный научный. ISBN  978-981-4329-63-7.
3. Грей, Альфред (1970). «Почти кэлеровы многообразия». J.Diff.Geometry. 4 (3): 283–309. Дои:10.4310 / jdg / 1214429504.
4. Фридрих, Томас; Грюневальд, Ральф (1985). «О первом собственном значении оператора Дирака на 6-мерных многообразиях». Анна. Глобальный анал. Geom. 3 (3): 265–273. Дои:10.1007 / BF00130480. S2CID  120431819.
5. Бэр, Кристиан (1993) Спиноры и голономия Real Killing. Comm. Математика. Phys. 154, 509–521.
6. Бутруиль, Жан-Батист (2005). «Классификация однородных почти кэлеровых многообразий». Анна. Глобальный анал. Geom. 27: 201–225. Дои:10.1007 / s10455-005-1581-х. S2CID  118501746.
7. Фосколо, Лоренцо и Хаскинс, Марк (2017). "Новый G₂-голономные конусы и экзотические почти кэлеровы структуры на S⁶ и S³ х S³". Анна. математики. 2. 185 (1): 59–130. arXiv:1501.07838. Дои:10.4007 / анналы.2017.185.1.2.
8. Надь, Пол-Анди (2002). «Почти кэлерова геометрия и римановы слоения». Азия Дж. Математика. 6 (3): 481–504. Дои:10.4310 / AJM.2002.v6.n3.a5. S2CID  117065633.
9. Агрикола, Илька (2006). «Лекции Срни о неинтегрируемых геометриях с кручением». Archivum Mathematicum. 42 (5): 5–84. arXiv:математика / 0606705. Bibcode:2006математика ...... 6705A.