Обычная форма для свободных групп и бесплатное произведение групп - Normal form for free groups and free product of groups - Wikipedia

В математике, особенно в комбинаторная теория групп, а нормальная форма для свободная группа над набором генераторы или для бесплатный продукт групп представляет собой представление элемента более простым элементом, при этом элемент находится либо в свободной группе, либо в свободных продуктах группы. В случае свободной группы этими более простыми элементами являются сокращенные слова а в случае свободного произведения групп - это приведенные последовательности. Ниже даны их точные определения. Как оказалось, для свободной группы и для свободного произведения групп существует уникальная нормальная форма, то есть каждый элемент может быть представлен более простым элементом, и это представление уникально. Это теорема о нормальной форме для свободных групп и для свободного произведения групп. Доказательство теоремы о нормальной форме здесь следует идее Артин и ван дер Варден.

Обычная форма для бесплатных групп

Позволять ${\displaystyle G}$ быть свободная группа с генераторная установка ${\displaystyle S}$. Каждый элемент в ${\displaystyle G}$ представлен словом ${\displaystyle w=a_{1}\cdots a_{n},}$ куда ${\displaystyle a_{j}\in S^{\pm },1\leqslant j\leqslant n.}$

Определение. Слово называется уменьшенный если он не содержит строки формы ${\displaystyle aa^{-1},a\in S^{\pm }.}$

Определение. А нормальная форма для свободная группа ${\displaystyle G}$ с генераторная установка ${\displaystyle S}$ это выбор сокращенное слово в ${\displaystyle S}$ для каждого элемента ${\displaystyle G}$.

Теорема о нормальной форме для свободных групп. Свободная группа имеет уникальную нормальную форму, т.е. каждый элемент в ${\displaystyle G}$ представлен уникальным сокращенным словом.

Доказательство. Элементарное преобразование слова ${\displaystyle w\in G}$ состоит из вставки или удаления части формы ${\displaystyle aa^{-1}}$ с ${\displaystyle a\in S^{\pm }}$. Два слова ${\displaystyle w_{1}}$ и ${\displaystyle w_{2}}$ эквивалентны, ${\displaystyle w_{1}\equiv w_{2}}$, если существует цепочка элементарных преобразований, ведущая из ${\displaystyle w_{1}}$ к ${\displaystyle w_{2}}$. Очевидно, это отношение эквивалентности на ${\displaystyle G}$. Позволять ${\displaystyle G_{0}}$ набор сокращенных слов. Мы покажем, что каждый класс эквивалентности слов содержит ровно одно сокращенное слово. Понятно, что каждый класс эквивалентности содержит сокращенное слово, поскольку последовательное удаление частей ${\displaystyle aa^{-1}}$ из любого слова ${\displaystyle w}$ должно привести к сокращенному слову. Тогда будет достаточно показать, что различные сокращенные слова ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ не эквивалентны. Для каждого ${\displaystyle x\in S}$ определить перестановку ${\displaystyle x\Delta }$ из ${\displaystyle G_{0}}$ установив ${\displaystyle w(x\Delta )=wx}$ если ${\displaystyle wx}$ уменьшается и ${\displaystyle w(x\Delta )=u}$ если ${\displaystyle w=ux^{-1}}$. Позволять ${\displaystyle P}$ быть группой перестановок ${\displaystyle G_{0}}$ генерируется ${\displaystyle x\Delta ,x\in S}$. Позволять ${\displaystyle \Delta ^{*}}$ - мультипликативное расширение ${\displaystyle \Delta }$ на карту ${\displaystyle \Delta ^{*}:W\mapsto P}$. Если ${\displaystyle u_{1}\equiv u_{2},}$ тогда ${\displaystyle u_{1}\Delta ^{*}=u_{2}\Delta ^{*}}$; более того ${\displaystyle 1(u\Delta ^{*})=u_{0}}$ уменьшается с ${\displaystyle u_{0}\equiv u.}$ Отсюда следует, что если ${\displaystyle u_{1}\equiv u_{2}}$ с ${\displaystyle u_{1},u_{2}}$ уменьшено, затем ${\displaystyle u_{1}=u_{2}}$.

Обычная форма для бесплатных продуктов

Позволять ${\displaystyle G=A*B}$ быть бесплатный продукт групп ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$. Каждый элемент ${\displaystyle w\in G}$ представлен ${\displaystyle w=g_{1}\cdots g_{n}}$ куда ${\displaystyle g_{j}\in A{\text{ or }}B}$ за ${\displaystyle 1\leqslant j\leqslant n}$.

Определение. А сокращенная последовательность это последовательность ${\displaystyle g_{1},\cdots ,g_{n}}$ так что для ${\displaystyle 1\leqslant j\leqslant n}$ у нас есть ${\displaystyle g_{j}\in A{\text{ or }}B,g_{j}\neq e}$ и ${\displaystyle g_{j},g_{j+1}}$ не в одном и том же факторе ${\displaystyle A}$ или же ${\displaystyle B}$. Элемент идентичности представлен пустым набором.

Определение. А нормальная форма для бесплатный продукт групп представляет собой представление или выбор сокращенной последовательности для каждого элемента в бесплатный продукт.

Теорема о нормальной форме для свободного произведения групп. Рассмотрим бесплатный продукт ${\displaystyle A*B}$ двух групп ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$. Тогда верны следующие два эквивалентных утверждения.

(1) Если ${\displaystyle w=g_{1}\cdots g_{n},n>0}$, куда ${\displaystyle g_{1},\cdots ,g_{n}}$ редуцированная последовательность, то ${\displaystyle w\neq 1}$ в ${\displaystyle A*B.}$

(2) Каждый элемент ${\displaystyle A*B}$ можно записать однозначно как ${\displaystyle w=g_{1}\cdots g_{n}}$ куда ${\displaystyle g_{1},\cdots ,g_{n}}$ является приведенной последовательностью.

Доказательство

Эквивалентность

Тот факт, что второе утверждение влечет первое, несложно. Теперь предположим, что первое утверждение выполнено, и пусть:

${\displaystyle g_{1}\cdots g_{m}=w=h_{1}\cdots h_{n}.}$

Из этого следует

${\displaystyle h_{n}^{-1}\cdots h_{1}^{-1}g_{1}\cdots g_{m}=1.}$

Следовательно, по первому утверждению левая часть не может быть уменьшена. Это может произойти, только если ${\displaystyle h_{1}^{-1}g_{1}=1,}$ т.е. ${\displaystyle g_{1}=h_{1}.}$ Действуя индуктивно, имеем ${\displaystyle m=n}$ и ${\displaystyle g_{i}=h_{i}}$ для всех ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n.}$ Это показывает, что оба утверждения эквивалентны.

Доказательство (2)

Позволять W - множество всех приведенных последовательностей в А ∗ B и S(W) - его группа перестановок. Определять φ : А → S(W) следующее:

${\displaystyle \varphi (a)(g_{1},g_{2},\cdots ,g_{m})={\begin{cases}(g_{1},g_{2},\cdots ,g_{m})&{\text{if }}a=1\\(a,g_{1},g_{2},\cdots ,g_{m})&{\text{if }}g_{1}\in B\\(ag_{1},g_{2},\cdots ,g_{m})&{\text{if }}g_{1}\in A{\text{ and }}ag_{1}\neq 1\\(g_{2},g_{3},\cdots ,g_{m})&{\text{if }}g_{1}\in A{\text{ and }}ag_{1}=1.\end{cases}}}$

Аналогично определяем ψ : B → S(W).

Легко проверить, что φ и ψ являются гомоморфизмами. Таким образом, благодаря универсальному свойству бесплатного продукта мы получим уникальную карту. φ ∗ ψ : А ∗ B → S(W) такой, что φ ∗ ψ (id) (1) = id (1) = 1.

Теперь предположим ${\displaystyle w=g_{1}\cdots g_{n},n>0,}$ куда ${\displaystyle (g_{1},\cdots ,g_{n})}$ редуцированная последовательность, то ${\displaystyle \phi *\psi (w)(1)=(g_{1},\cdots ,g_{n}).}$ Следовательно ш = 1 в А ∗ B что противоречит п > 0.

Рекомендации

• Линдон, Роджер С.; Шупп, Пол Э. (1977). Комбинаторная теория групп. Springer. ISBN  978-3-540-41158-1..