Численная модель Солнечной системы. - Numerical model of the Solar System

А численная модель Солнечная система представляет собой набор математических уравнений, которые при решении дают приблизительное положение планет как функцию времени. Попытки создать такую ​​модель установили более общую область небесная механика. Результаты этого моделирования можно сравнить с прошлыми измерениями для проверки точности, а затем использовать для прогнозирования будущих положений. Поэтому его основное использование - подготовка альманахов.

Более старые усилия

Моделирование может быть выполнено в любом Декартово или в сферический координаты. Первые проще, но они чрезвычайно требовательны к вычислениям и применимы только на электронном компьютере. В качестве такового в прежние времена использовался только последний. Строго говоря, последнее было не намного менее затратным в вычислениях, но можно было начать с некоторых простых приближений, а затем добавить возмущения, столько, сколько необходимо для достижения желаемой точности.

По сути, это математическое моделирование Солнечной системы представляет собой форму Проблема N-тела. Символ N представляет собой количество тел, которое может стать довольно большим, если в него включить Солнце, 8 планет, десятки лун и бесчисленные планетоиды, кометы и так далее. Однако влияние Солнца на любое другое тело настолько велико, а влияние всех других тел друг на друга настолько мало, что проблема может быть сведена к аналитически решаемой задаче двух тел. Результатом для каждой планеты является орбита, простое описание ее положения как функции времени. Как только эта проблема решена, влияния лун и планет друг на друга добавляются в виде небольших поправок. Они маленькие по сравнению с полной планетной орбитой. Некоторые поправки могут быть все же большими, в то время как измерения могут производиться с точностью лучше 1 дюйма.

Хотя этот метод больше не используется для моделирования, по-прежнему полезно найти приблизительные эфемериды, поскольку можно взять относительно простое основное решение, возможно, добавить несколько самых больших возмущений и без особых усилий достичь желаемого положения планеты. Недостаток в том, что теория возмущений представляет собой очень сложную математику.

Современный метод

Современный метод состоит из численного интегрирования в трехмерном пространстве. Начинают с высокого значения точности положения (Икс, у, z) и скорость (v_Икс, v_у, v_z) для каждого из задействованных органов. Когда также известна масса каждого тела, ускорение (а_Икс, а_у, а_z) можно рассчитать из Закон тяготения Ньютона. Каждое тело притягивает друг друга, а общее ускорение является суммой всех этих притяжений. Далее выбирается малый шаг по времени Δт и применяет Второй закон движения Ньютона. Ускорение, умноженное на Δт дает поправку к скорости. Скорость, умноженная на Δт дает поправку к позиции. Эта процедура повторяется для всех остальных тел.

Результатом является новое значение положения и скорости для всех тел. Затем, используя эти новые значения, мы начинаем весь расчет для следующего временного шага Δт. Повторяя эту процедуру достаточно часто, в итоге получаем описание положения всех тел с течением времени.

Преимущество этого метода заключается в том, что для компьютера это очень простая работа, и он дает очень точные результаты для всех тел одновременно, избавляясь от сложных и трудных процедур определения возмущений. Недостатком является то, что нужно начинать с очень точных цифр, иначе результаты со временем будут отклоняться от реальности; тот получает Икс, у, z положения, которые часто сначала необходимо преобразовать в более практичные эклиптические или экваториальные координаты, прежде чем их можно будет использовать; и что это подход "все или ничего". Если кто-то хочет знать положение одной планеты в один конкретный момент времени, тогда также должны быть рассчитаны все другие планеты и все промежуточные временные шаги.

Интеграция

В предыдущем разделе предполагалось, что ускорение остается постоянным на небольшом временном шаге Δt, так что расчет сводится к простому добавлению V × Δt к R и так далее. В действительности это не так, за исключением случаев, когда Δt принимается настолько малым, что количество шагов, которые необходимо предпринять, было бы чрезмерно большим. Поскольку в любой момент положение изменяется ускорением, значение ускорения определяется мгновенным положением. Очевидно, нужна полная интеграция.

Доступно несколько методов. Сначала обратите внимание на необходимые уравнения:

${\displaystyle {\vec {a}}_{j}=\sum _{i\neq j}^{n}G{\frac {M_{i}}{|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}|^{3}}}({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j})}$

Это уравнение описывает ускорение всех тел. я бег от 1 до N упражнение на конкретное тело j. Это векторное уравнение, поэтому его нужно разделить на 3 уравнения для каждого из компонентов X, Y, Z, в результате чего получится:

${\displaystyle (a_{j})_{x}=\sum _{i\neq j}^{n}G{\frac {M_{i}}{((x_{i}-x_{j})^{2}+(y_{i}-y_{j})^{2}+(z_{i}-z_{j})^{2})^{3/2}}}(x_{i}-x_{j})}$

с дополнительными отношениями

${\displaystyle a_{x}={\frac {dv_{x}}{dt}}}$, ${\displaystyle v_{x}={\frac {dx}{dt}}}$

аналогично для Y и Z.

Первое уравнение (гравитация) может показаться зловещим, но его вычисление не проблема. Последние уравнения (законы движения) кажутся более простыми, но все же их нельзя вычислить. Компьютеры не могут интегрироваться, они не могут работать с бесконечно малыми значениями, поэтому вместо dt мы используем Δt и переносим полученную переменную влево:

${\displaystyle \Delta v_{x}=a_{x}\Delta t}$, и: ${\displaystyle \Delta x=v_{x}\Delta t}$

Помни это а по-прежнему зависит от времени. Самый простой способ решить эту проблему - просто Эйлер алгоритм, который по сути является описанным выше линейным сложением. Ограничимся одним измерением только на каком-то общем компьютерном языке:

a.old = функция гравитации (x.old) x.new = x.old + v.old * dtv.new = v.old + a.old * dt

Поскольку, по сути, ускорение, используемое на протяжении всего временного шага, такое же, как и в начале временного шага, этот простой метод не имеет высокой точности. Намного лучшие результаты достигаются, если взять среднее ускорение, среднее между начальным значением и ожидаемым (невозмущенным) конечным значением:

a.old = гравитационная функция (x.old) x.expect = x.old + v.old * dta.expect = гравитационная функция (x.expect) v.new = v.old + (a.old + a.expect) * 0,5 * dtx.new = x.old + (v.new + v.old) * 0,5 * dt

Конечно, если брать промежуточные значения, можно ожидать еще лучших результатов. Вот что происходит при использовании Рунге-Кутта метод, особенно метод 4 или 5 степени является наиболее полезным. Чаще всего используется метод метод чехарда благодаря хорошему долгосрочному энергосбережению.

Совершенно другой метод - использование Серия Тейлор. В этом случае мы пишем: ${\displaystyle r=r_{0}+r'_{0}t+r''_{0}{\frac {t^{2}}{2!}}+...}$

но вместо того, чтобы развиваться до некоторой более высокой производной только по r, можно развить по r и v (то есть r '), написав ${\displaystyle r=fr_{0}+gr'_{0}}$а затем запишите факторы ж и грамм в серии.

Приближения

Для расчета ускорений необходимо учитывать гравитационное притяжение каждого тела друг к другу. Как следствие, количество вычислений при моделировании увеличивается пропорционально квадрату количества тел: удвоение количества тел увеличивает работу в четыре раза. Чтобы повысить точность моделирования, необходимо использовать не только больше десятичных знаков, но и меньшие временные шаги, что снова быстро увеличивает объем работы. Очевидно, нужно применять хитрости, чтобы уменьшить объем работы. Здесь приведены некоторые из этих приемов.

Безусловно, самый важный трюк - это использование правильного метода интеграции, как уже говорилось выше.

Выбор единиц важен. Вместо того, чтобы работать в Единицы СИ, что сделало бы некоторые значения чрезвычайно маленькими, а некоторые чрезвычайно большими, все единицы должны быть масштабированы так, чтобы они были в районе 1. Например, для расстояний в Солнечной системе астрономическая единица самый простой. Если этого не сделать, можно почти наверняка увидеть, что симуляция прекращается в середине расчета на плавающая точка переполнение или же переполнение, и если не так уж плохо, точность все равно может быть потеряна из-за усечение ошибки.

Если N велико (не столько в моделировании Солнечной системы, сколько в моделировании галактик), принято создавать динамические группы тел. Все тела в определенном направлении и на большом расстоянии от эталонного тела, которое рассчитывается в данный момент, берутся вместе, а их гравитационное притяжение усредняется по всей группе.

Общая сумма энергия и угловой момент замкнутой системы - это сохраняющиеся величины. Вычисляя эти суммы после каждого временного шага, моделирование можно запрограммировать на увеличение размера шага Δt, если они не изменяются значительно, и на его уменьшение, если они начинают это делать. Также возможно объединение тел в группы, как в предыдущем, и применение больших и, следовательно, меньших временных шагов к удаленным телам, чем к более близким.

Для того, чтобы обеспечить чрезмерно быстрое изменение ускорения, когда конкретный орган находится близко к опорному телу, обычно вводится малый параметр е так что${\displaystyle a={\frac {GM}{r^{2}+e}}}$

Осложнения

Если требуется максимально возможная точность, расчеты значительно усложняются. В случае комет необходимо учитывать негравитационные силы, такие как радиационное давление и сопротивление газа. В случае Меркурия и других планет для долгосрочных расчетов нельзя игнорировать релятивистские эффекты. Тогда также полная энергия больше не является постоянной (потому что четыре вектора энергии с линейным импульсом есть). Конечная скорость света также делает важным учитывать эффекты светового времени, как классические, так и релятивистские. Планеты больше нельзя рассматривать как частицы, но также следует учитывать их форму и плотность. Например, уплощение Земли вызывает прецессию, которая вызывает изменение наклона оси, что влияет на долговременные движения всех планет. Долгосрочные модели, выходящие за рамки нескольких десятков миллионов лет, невозможны из-за отсутствие стабильность Солнечной системы.

Смотрите также

• Эфемериды
• VSOP (планеты)

Рекомендации

• Буле, Дэн Л. (1991). Методы определения орбиты для микрокомпьютера. Ричмонд, Вирджиния: Willmann-Bell, Inc. ISBN  978-0-943396-34-7. OCLC  23287041.^{[страница нужна ]}