Огден (гиперупругая модель) - Ogden (hyperelastic model)

В Модель материала Огден это сверхупругий материал модель, используемая для описания нелинейного стресс –напряжение поведение сложных материалов, таких как резина, полимеры, и биологическая ткань. Модель разработана Раймонд Огден в 1972 г.^[1] Модель Огдена, как и другие сверхупругий материал модели, предполагает, что поведение материала можно описать с помощью функция плотности энергии деформации, из которого могут быть получены зависимости напряжения от деформации.

Модель материала Огден

В модели материала Огдена плотность энергии деформации выражается через основные участки ${displaystyle ,!lambda _{j}}$, ${displaystyle ,!j=1,2,3}$ в качестве:

${displaystyle Wleft(lambda _{1},lambda _{2},lambda _{3}ight)=sum _{p=1}^{N}{frac {mu _{p}}{alpha _{p}}}left(lambda _{1}^{alpha _{p}}+lambda _{2}^{alpha _{p}}+lambda _{3}^{alpha _{p}}-3ight)}$

куда ${displaystyle N}$, ${displaystyle ,!mu _{p}}$ и ${displaystyle ,!alpha _{p}}$ материальные константы. В предположении несжимаемости можно переписать как

${displaystyle Wleft(lambda _{1},lambda _{2}ight)=sum _{p=1}^{N}{frac {mu _{p}}{alpha _{p}}}left(lambda _{1}^{alpha _{p}}+lambda _{2}^{alpha _{p}}+lambda _{1}^{-alpha _{p}}lambda _{2}^{-alpha _{p}}-3ight)}$

В общем, модуль сдвига получается из

${displaystyle 2mu =sum _{p=1}^{N}mu _{p}alpha _{p}.}$

С ${displaystyle N=3}$ и путем подбора параметров материала можно очень точно описать поведение каучуков. Для конкретных значений материальных констант модель Огдена сводится либо к Неогукевское твердое тело (${displaystyle N=1}$, ${displaystyle alpha =2}$) или Материал Муни-Ривлина (${displaystyle N=2}$, ${displaystyle alpha _{1}=2}$, ${displaystyle alpha _{2}=-2}$, с условием связи ${displaystyle lambda _{1}lambda _{2}lambda _{3}=1}$).

Используя модель материала Огдена, три основных значения напряжений Коши теперь могут быть вычислены как

${displaystyle sigma _{j}=-p+lambda _{j}{frac {partial W}{partial lambda _{j}}}=-p+sum _{p=1}^{N}mu _{p}lambda _{j}^{alpha _{p}}}$.

Одноосное растяжение

Теперь рассмотрим несжимаемый материал при одноосном растяжении, причем степень растяжения задается как ${displaystyle lambda ={frac {l}{l_{0}}}}$. Давление ${displaystyle p}$ определяется из несжимаемости и граничного условия ${displaystyle sigma _{2}=sigma _{3}=0}$, что дает:

${displaystyle sigma _{1}=sum _{p=1}^{N}mu _{p}left(lambda ^{alpha _{p}-1}-lambda ^{-{frac {1}{2}}alpha _{p}-1}ight)}$.

Равно-двухосное растяжение

Рассматривая несжимаемый материал при равно-двухосном растяжении, с ${displaystyle lambda _{1}=lambda _{2}={frac {l}{l_{0}}}}$. Давление ${displaystyle p}$ определяется из несжимаемости, а граничное условие ${displaystyle sigma _{3}=0}$, дает:

${displaystyle sigma _{1}=sigma _{2}=sum _{p=1}^{N}mu _{p}left(lambda ^{alpha _{p}}-lambda ^{-2alpha _{p}}ight)}$.

Другие гиперупругие модели

Для резины и биологических материалов необходимы более сложные модели. Такие материалы могут демонстрировать нелинейное поведение напряжения-деформации при умеренных деформациях или быть упругими до огромных деформаций. Такое сложное нелинейное поведение напряжения-деформации необходимо согласовывать с помощью специально разработанных функций плотности энергии деформации.

Простейшей из этих гиперупругих моделей является модель Неогукевское твердое тело.

${displaystyle W(mathbf {C} )={frac {mu }{2}}(I_{1}^{C}-3)}$

куда ${displaystyle mu }$ - модуль сдвига, который может быть определен экспериментально. Из экспериментов известно, что для резиноподобных материалов при умеренной деформации до 30–70% модель Неогука обычно с достаточной точностью соответствует поведению материала. Для моделирования резины при высоких деформациях однопараметрическая модель Неогука заменяется более общими моделями, такими как Муни-Ривлин твердый где энергия деформации ${displaystyle W}$ является линейной комбинацией двух инвариантов

${displaystyle W(mathbf {C} )={frac {mu _{1}}{2}}left(I_{1}^{C}-3ight)-{frac {mu _{2}}{2}}left(I_{2}^{C}-3ight)}$

Материал Муни-Ривлина изначально также был разработан для резины, но сегодня часто применяется для моделирования (несжимаемой) биологической ткани. Для моделирования резиновых и биологических материалов при еще более высоких деформациях, более сложных Модель материала Огден была разработана.

Рекомендации

1. Огден, Р. У. (1972). Изотропная упругость при больших деформациях - взаимосвязь теории и эксперимента для несжимаемых резиноподобных твердых тел, Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки, Vol. 326, № 1567 (1 февраля 1972 г.), стр. 565–584.

• Ф. Цирак: Конспект лекций для 5R14: Нелинейная механика твердого тела, Кембриджский университет.
• Р. В. Огден: Нелинейные упругие деформации, ISBN  0-486-69648-0
• К. Вайнберг: Конспект лекций для Zur Methode der finiten Elemente in der Mechanik II: Nichtlineare Probleme, TU Berlin [на английском языке].
  http://mech2.pi.tu-berlin.de/weinberg/Lehre/fem2/Chapter4.pdf