Оптимальные инструменты - Optimal instruments

В статистика и эконометрика, оптимальные инструменты это техника для улучшения эффективность из оценщики в модели с условным моментом, класс полупараметрические модели которые генерируют условное ожидание функции. Чтобы оценить параметры модели условного момента, статистик может получить ожидание функцию (определение «моментных условий») и используйте обобщенный метод моментов (GMM). Однако существует бесконечно много моментных условий, которые можно сгенерировать из одной модели; оптимальные инструменты обеспечивают наиболее эффективные моментные условия.

В качестве примера рассмотрим нелинейная регрессия модель

${\displaystyle y=f(x,\theta )+u}$

${\displaystyle E[u\mid x]=0}$

куда y это скаляр (одномерный) случайная переменная, Икс это случайный вектор с размером k, и θ это k-размерный параметр. Ограничение условного момента ${\displaystyle E[u\mid x]=0}$ согласуется с бесконечно многими моментными условиями. Например:

${\displaystyle E[ux]=E[ux^{2}]=E[ux^{3}]=\dots =0}$

В более общем смысле, для любых векторных функция z из Икс, будет так, что

${\displaystyle E[z(x)(y-f(x,\theta ))]=0}$.

То есть, z определяет конечный набор ортогональность условия.

Тогда возникает естественный вопрос: асимптотически эффективный доступен набор условий в том смысле, что ни один другой набор условий не может быть ниже асимптотическая дисперсия.^[1] Оба эконометриста^[2][3] и статистики^[4] широко изучили этот предмет.

Обычно ответ на этот вопрос заключается в том, что этот конечный набор существует и был доказан для широкого круга оценок. Такеши Амемия одним из первых поработал над этой проблемой и показал оптимальное количество инструментов для нелинейного модели одновременных уравнений с гомоскедастическими и серийно некоррелированными ошибками.^[5] Форма оптимальных инструментов характеризовалась Ларс Питер Хансен,^[6] а результаты для непараметрической оценки оптимальных инструментов предоставлены Ньюи.^[7] Результат для оценок ближайшего соседа был предоставлен Робинсоном.^[8]

В линейной регрессии

С помощью техники оптимальных инструментов можно показать, что в условный момент линейная регрессия модель с iid данных оптимальная оценка GMM обобщенный метод наименьших квадратов. Рассмотрим модель

${\displaystyle y=x^{\mathrm {T} }\theta +u}$

${\displaystyle E[u\mid x]=0}$

куда y - скалярная случайная величина, Икс это k-мерный случайный вектор, и θ это k-мерный вектор параметров. Как и выше, моментные условия

${\displaystyle E[z(x)(y-x^{\mathrm {T} }\theta )]=0}$

куда z = z(Икс) это набор инструментов измерения п (п ≥ k). Задача - выбрать z чтобы минимизировать асимптотическую дисперсию полученной оценки GMM. Если данные iid, асимптотическая дисперсия оценки GMM равна

${\displaystyle (E[xz^{\mathrm {T} }]^{\mathrm {T} }E[\sigma ^{2}(x)zz^{\mathrm {T} }]^{-1}E[zx^{\mathrm {T} }])^{-1}}$

куда ${\displaystyle \sigma ^{2}(x)\equiv E[u^{2}\mid x]}$.

Оптимальные инструменты представлены

${\displaystyle z^{*}(x)={\frac {x}{\sigma ^{2}(x)}}}$

что дает асимптотическую матрицу дисперсии

${\displaystyle \left(E\left[{\frac {xx^{\mathrm {T} }}{\sigma ^{2}(x)}}\right]\right)^{-1}}$.

Это оптимальные инструменты, потому что для любых других z, матрица

${\displaystyle \left(E\left[{\frac {xx^{\mathrm {T} }}{\sigma ^{2}(x)}}\right]\right)^{-1}-(E[xz^{\mathrm {T} }]^{\mathrm {T} }E[\sigma ^{2}(x)zz^{\mathrm {T} }]^{-1}E[zx^{\mathrm {T} }])^{-1}}$

является положительно полуопределенный.

Данный iid данные ${\displaystyle (y_{1},x_{1}),\dots ,(y_{N},x_{N})}$, оценка GMM, соответствующая ${\displaystyle z^{*}(x)}$ является

${\displaystyle {\widetilde {\theta }}=\left(\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}x_{i}^{\mathrm {T} }}{\sigma ^{2}(x_{i})}}\right)^{-1}\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}y_{i}}{\sigma ^{2}(x_{i})}}}$

который является обобщенной оценкой наименьших квадратов. (Это невозможно, потому что σ²(·) неизвестно.)^[1]

Рекомендации

1. Арельяно, М. (2009). «Обобщенный метод моментов и оптимальные инструменты» (PDF). Примечания к классу.
2. Чемберлен, Г. (1987). «Асимптотическая эффективность в оценивании с условными ограничениями момента». Журнал эконометрики. 34 (3): 305–334. Дои:10.1016/0304-4076(87)90015-7.
3. Ньюи, В. К. (1988). «Адаптивная оценка регрессионных моделей с помощью ограничений момента». Журнал эконометрики. 38 (3): 301–339. Дои:10.1016/0304-4076(88)90048-6.
4. Liang, K-Y .; Зегер, С. Л. (1986). «Анализ продольных данных с использованием обобщенных линейных моделей». Биометрика. 73 (1): 13–22. Дои:10.1093 / biomet / 73.1.13.
5. Амемия, Т. (1977). "Максимальное правдоподобие и трехступенчатая нелинейная оценка методом наименьших квадратов в общей нелинейной модели одновременных уравнений". Econometrica. 45 (4): 955–968. Дои:10.2307/1912684. JSTOR  1912684.
6. Хансен, Л. П. (1985). "Метод вычисления границ асимптотических ковариационных матриц обобщенного метода оценщиков моментов". Журнал эконометрики. 30 (1–2): 203–238. Дои:10.1016/0304-4076(85)90138-1.
7. Ньюи, В. К. (1990). «Эффективное инструментальное оценивание переменных нелинейных моделей». Econometrica. 58 (4): 809–837. Дои:10.2307/2938351. JSTOR  2938351.
8. Робинсон, П. (1987). «Асимптотически эффективное оценивание при наличии гетероскедастичности неизвестной формы». Econometrica. 55 (4): 875–891. Дои:10.2307/1911033. JSTOR  1911033.

дальнейшее чтение

• Циатис, А.А. (2006). Полупараметрическая теория и недостающие данные. Серия Спрингера в статистике. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-32448-8.