Емкость орбиты - Orbit capacity

В математика, емкость орбиты подмножества топологическая динамическая система может рассматриваться эвристически как «топологический динамический вероятностная мера »Подмножества. Точнее, его значение для набора является точной верхней границей нормализованного числа посещений орбит в этом наборе.

Определение

Топологическая динамическая система состоит из компактный Хаусдорф топологическое пространство Икс и гомеоморфизм ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$. Позволять ${\displaystyle E\subset X}$ быть набором. Lindenstrauss ввел определение емкости орбиты^[1]:

${\displaystyle \operatorname {ocap} (E)=\lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{x\in X}{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\chi _{E}(T^{k}x)}$

Вот, ${\displaystyle \chi _{E}(x)}$ это функция принадлежности для набора ${\displaystyle E}$. Это ${\displaystyle \chi _{E}(x)=1}$ если ${\displaystyle x\in E}$ и равен нулю в противном случае.

Свойства

Очевидно, есть ${\displaystyle 0\leq \operatorname {ocap} (E)\leq 1}$. По соглашению топологические динамические системы не снабжены мера; емкость орбиты можно рассматривать как определяющую "естественным" способом. Это не настоящая мера, это лишь субаддитив:

• Емкость орбиты субдобавка:

${\displaystyle \operatorname {ocap} (A\cup B)\leq \operatorname {ocap} (A)+\operatorname {ocap} (B)}$

• Для закрытого набора C,

${\displaystyle \operatorname {ocap} (C)=\sup _{\mu \in \operatorname {M} _{T}(X)}\mu (C)}$

где M_Т(Икс) - это набор Т-инвариантные вероятностные меры наИкс.

Маленькие наборы

Когда ${\displaystyle \operatorname {ocap} (A)=0}$, ${\displaystyle A}$ называется маленький. Эти множества входят в определение небольшая граница собственности.

использованная литература

1. Линденштраус, Илон (1999-12-01). «Средняя размерность, малые энтропийные факторы и теорема вложения». Публикации Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques. 89 (1): 232. Дои:10.1007 / BF02698858. ISSN  0073-8301.