Орбитальная стабильность - Orbital stability - Wikipedia

В математическая физика и теория уравнения в частных производных, то уединенная волна решение формы ${\displaystyle u(x,t)=e^{-i\omega t}\phi (x)\,}$ как говорят орбитально стабильный если какое-либо решение с исходные данные достаточно близко к ${\displaystyle \phi (x)\,}$ навсегда остается в данной небольшой окрестности траектории ${\displaystyle e^{-i\omega t}\phi (x)\,}$.

Формальное определение

Формальное определение таково.^[1]Рассмотрим динамическая система

${\displaystyle i{\frac {du}{dt}}=A(u),\qquad u(t)\in X,\quad t\in \mathbb {R} ,}$

с ${\displaystyle X\,}$ а Банахово пространство над ${\displaystyle \mathbb {C} \,}$,и ${\displaystyle A\,:X\to X}$.Мы предполагаем, что система${\displaystyle \mathrm {U} (1)\,}$-инвариантный,так что${\displaystyle A(e^{is}u)=e^{is}A(u)\,}$ для любого ${\displaystyle u\in X\,}$и любой ${\displaystyle s\in \mathbb {R} \,}$.

Предположить, что ${\displaystyle \omega \phi =A(\phi )\,}$,так что ${\displaystyle u(t)=e^{-i\omega t}\phi \,}$ является решением динамической системы, такое решение назовем уединенная волна.

Мы говорим, что уединенная волна ${\displaystyle e^{-i\omega t}\phi \,}$орбитально устойчив, если для любого ${\displaystyle \epsilon >0\,}$ есть ${\displaystyle \delta >0\,}$такой, что для любого ${\displaystyle v_{0}\in X}$ с ${\displaystyle \Vert \phi -v_{0}\Vert _{X}<\delta \,}$есть решение ${\displaystyle v(t)\,}$ определено для всех ${\displaystyle t\geq 0}$такой, что ${\displaystyle v(0)=v_{0}\,}$, и такое, что это решение удовлетворяет

${\displaystyle \sup _{t\geq 0}\inf _{s\in \mathbb {R} }\Vert v(t)-e^{is}\phi \Vert _{X}<\epsilon .}$

Пример

В соответствии с ^[2],^[3]Решение уединенной волны ${\displaystyle e^{-i\omega t}\phi _{\omega }(x)\,}$к нелинейное уравнение Шредингера

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}u=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x\,^{2}}}u+g(|u|^{2})u,\qquad u(x,t)\in \mathbb {C} ,\quad x\in \mathbb {R} ,\quad t\in \mathbb {R} ,}$

куда ${\displaystyle g\,}$ - гладкая вещественнозначная функция, является орбитально стабильный если Критерий устойчивости Вахитова – Колоколова. доволен:

${\displaystyle {\frac {d}{d\omega }}Q(\phi _{\omega })<0,}$

куда

${\displaystyle Q(u)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }|u(x,t)|^{2}\,dx}$

это обвинять решения ${\displaystyle u(x,t)\,}$, которое сохраняется во времени (по крайней мере, если решение ${\displaystyle u(x,t)\,}$достаточно гладкая).

Было также показано,^[4][5]что если ${\displaystyle {\frac {d}{d\omega }}Q(\omega )<0}$ по особой цене ${\displaystyle \omega \,}$, то уединенная волна${\displaystyle e^{-i\omega t}\phi _{\omega }(x)\,}$является Конюшня Ляпунова, с Функция Ляпунова данный ${\displaystyle L(u)=E(u)-\omega Q(u)+\Gamma (Q(u)-Q(\phi _{\omega }))^{2}\,}$,куда${\displaystyle E(u)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left(|{\frac {\partial u}{\partial x}}|^{2}+G(|u|^{2})\right)\,dx}$это энергия решения ${\displaystyle u(x,t)\,}$,с ${\displaystyle G(y)=\int _{0}^{y}g(z)\,dz}$ первообразная ${\displaystyle g\,}$, пока постоянная${\displaystyle \Gamma >0\,}$ выбирается достаточно большим.

Смотрите также

• Теория устойчивости
  • Асимптотическая устойчивость
  • Линейная устойчивость
  • Ляпуновская устойчивость
  • Критерий устойчивости Вахитова-Колоколова

Рекомендации

1. Мануссос Грильякис; Джалал Шатах и ​​Вальтер Штраус (1990). «Теория устойчивости уединенных волн при наличии симметрии». J. Funct. Анальный. 94: 308–348. Дои:10.1016 / 0022-1236 (90) 90016-Е.
2. Т. Казенаве и П.-Л. Львов (1982). «Орбитальная устойчивость стоячих волн для некоторых нелинейных уравнений Шредингера». Comm. Математика. Phys. 85 (4): 549–561. Bibcode:1982CMaPh..85..549C. Дои:10.1007 / BF01403504.
3. Джерри Бона; Панайотис Суганидис и Вальтер Штраус (1987). «Устойчивость и неустойчивость уединенных волн типа Кортевега-де Фриза». Труды Королевского общества А. 411 (1841): 395–412. Bibcode:1987RSPSA.411..395B. Дои:10.1098 / rspa.1987.0073.
4. Майкл И. Вайнштейн (1986). «Устойчивость по Ляпунову основных состояний нелинейных дисперсионных эволюционных уравнений». Comm. Pure Appl. Математика. 39 (1): 51–67. Дои:10.1002 / cpa.3160390103.
5. Ричард Джордан и Брюс Теркингтон (2001). «Статистические теории равновесия для нелинейного уравнения Шредингера». Contemp. Математика. 283: 27–39. Дои:10.1090 / conm / 283/04711.