Оператор упорядоченного взвешенного усреднения - Ordered weighted averaging aggregation operator

В прикладной математике - особенно в нечеткая логика - в операторы упорядоченного взвешенного усреднения (OWA) обеспечить параметризованный класс операторов агрегирования среднего типа. Их представил Рональд Р. Ягер. Многие известные средние операторы, такие как max, среднее арифметическое, median и min являются членами этого класса. Они широко использовались в вычислительный интеллект из-за их способности моделировать лингвистически выраженные инструкции агрегирования.

Определение

Формально OWA оператор измерения ${displaystyle n}$ это отображение ${displaystyle F: R_ {n} ightarrow R}$ который имеет связанный набор весов ${displaystyle W = [w_ {1}, ldots, w_ {n}]}$ лежащие в единичном интервале и суммирующие до единицы и с

{displaystyle F (a_ {1}, ldots, a_ {n}) = сумма _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} b_ {j}}

куда ${displaystyle b_ {j}}$ это j^th самый большой из ${displaystyle a_ {i}}$ .

Выбирая разные W можно реализовать разные операторы агрегирования. Оператор OWA является нелинейным оператором в результате процесса определения б_j.

Характеристики

Оператор OWA - это средний оператор. это ограниченный, монотонный, симметричный, и идемпотент, как определено ниже.

Ограниченный	${displaystyle min (a_ {1}, ldots, a_ {n}) leq F (a_ {1}, ldots, a_ {n}) leq max (a_ {1}, ldots, a_ {n})}$
Монотонный	${displaystyle F (a_ {1}, ldots, a_ {n}) geq F (g_ {1}, ldots, g_ {n})}$ если ${displaystyle a_ {i} geq g_ {i}}$ за ${displaystyle i = 1,2, ldots, n}$
Симметричный	${displaystyle F (a_ {1}, ldots, a_ {n}) = F (a_ {oldsymbol {pi (1)}}, ldots, a_ {oldsymbol {pi (n)}})}$ если ${displaystyle {oldsymbol {pi}}}$ это карта перестановки
Идемпотент	${displaystyle F (a_ {1}, ldots, a_ {n}) = a}$ я упал ${displaystyle a_ {i} = a}$

Известные операторы OWA

{displaystyle F (a_ {1}, ldots, a_ {n}) = max (a_ {1}, ldots, a_ {n})}

если

{displaystyle w_ {1} = 1}

и

{displaystyle w_ {j} = 0}

за

{displaystyle jeq 1}

{displaystyle F (a_ {1}, ldots, a_ {n}) = min (a_ {1}, ldots, a_ {n})}

если

{displaystyle w_ {n} = 1}

и

{displaystyle w_ {j} = 0}

за

{displaystyle jeq n}

{displaystyle F (a_ {1}, ldots, a_ {n}) = mathrm {средний} (a_ {1}, ldots, a_ {n})}

если

{displaystyle w_ {j} = {гидроразрыв {1} {n}}}

для всех

{displaystyle jin [1, n]}

Характеризуя особенности

Для характеристики операторов OWA были использованы две особенности. Первый - это установочный характер (или склонность).

Это определяется как

{displaystyle A-C (W) = {frac {1} {n-1}} sum _ {j = 1} ^ {n} (n-j) w_ {j}.}

Известно, что ${displaystyle A – C (W) в [0,1]}$ .

Кроме того А − C(max) = 1, A - C (ave) = A - C (med) = 0,5 и A - C (min) = 0. Таким образом, A - C переходит от 1 до 0 при переходе от максимального к минимальному агрегированию. Установочный характер характеризует сходство агрегирования с операцией ИЛИ (ИЛИ определяется как Макс).

Вторая особенность - это дисперсия. Это определяется как

{displaystyle H (W) = - sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} ln (w_ {j}).}

Альтернативное определение: ${displaystyle E (W) = sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} ^ {2}.}$ Дисперсия характеризует равномерность использования аргументов ÀĚ

Операторы агрегации OWA типа 1

Вышеупомянутые операторы OWA Ягера используются для агрегирования четких значений. Можем ли мы агрегировать нечеткие множества в механизме OWA? ВОператоры OWA типа 1 были предложены для этой цели. Итак операторы OWA типа 1 предоставляет нам новый метод прямого агрегирования неопределенной информации с неопределенными весами через механизм OWA в мягком принятии решений и интеллектуальном анализе данных, где эти неопределенные объекты моделируются нечеткими наборами.

В оператор OWA типа 1 определяется в соответствии с альфа-разрезами нечетких множеств следующим образом:

Учитывая п лингвистические веса ${displaystyle left {{W ^ {i}} ight} _ {i = 1} ^ {n}}$ в виде нечетких множеств, определенных в предметной области ${displaystyle U = [0, ;; 1]}$ , то для каждого ${displaystyle alpha in [0,; 1]}$ , ${displaystyle alpha}$ -уровневый оператор OWA типа 1 с ${displaystyle alpha}$ -уровневые наборы ${displaystyle left {{W_ {alpha} ^ {i}} ight} _ {i = 1} ^ {n}}$ агрегировать ${displaystyle alpha}$ -срезы нечетких множеств ${displaystyle left {{A ^ {i}} ight} _ {i = 1} ^ {n}}$ дается как

{displaystyle Phi _ {alpha} left ({A_ {alpha} ^ {1}, ldots, A_ {alpha} ^ {n}} ight) = left {{{frac {sum limits _ {i = 1} ^ {n } {w_ {i} a_ {sigma (i)}}} {sum limits _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i}}}} left | {w_ {i} in W_ {alpha} ^ { i} ,; a_ {i}} ight.in A_ {alpha} ^ {i} ,; i = 1, ldots, n} ight}}

куда ${displaystyle W_ {alpha} ^ {i} = {w | mu _ {W_ {i}} (w) geq alpha}, A_ {alpha} ^ {i} = {x | mu _ {A_ {i}} ( x) geq alpha}}$ , и ${displaystyle sigma: {; 1, ldots, n;} o {; 1, ldots, n;}}$ функция перестановки такая, что ${displaystyle a_ {sigma (i)} geq a_ {sigma (i + 1)} ,; forall; i = 1, ldots, n-1}$ , т.е. ${displaystyle a_ {sigma (i)}}$ это ${displaystyle i}$ ый крупный элемент в наборе ${displaystyle left {{a_ {1}, ldots, a_ {n}} ight}}$ .

Расчет тип 1 OWA вывод осуществляется путем вычисления левых конечных точек и правых конечных точек интервалов ${displaystyle Phi _ {alpha} left ({A_ {alpha} ^ {1}, ldots, A_ {alpha} ^ {n}} ight)}$ : ${displaystyle Phi _ {alpha} left ({A_ {alpha} ^ {1}, ldots, A_ {alpha} ^ {n}} ight) _ {-}}$ и ${displaystyle Phi _ {alpha} left ({A_ {alpha} ^ {1}, ldots, A_ {alpha} ^ {n}} ight) _ {+},}$ куда ${displaystyle A_ {alpha} ^ {i} = [A_ {alpha -} ^ {i}, A_ {alpha +} ^ {i}], W_ {alpha} ^ {i} = [W_ {alpha -} ^ { i}, W_ {альфа +} ^ {i}]}$ . Тогда функция принадлежности результирующего нечеткого множества агрегации будет: