Операторы OWA типа 1 - Type-1 OWA operators

В Операторы Ягера OWA (упорядоченное взвешенное усреднение)^[1] используются для агрегирования четких значений в схемах принятия решений (таких как принятие решений по нескольким критериям, принятие решений с участием нескольких экспертов и принятие решений с несколькими критериями / экспертами).^[2][3] Широко признано, что Нечеткие множества^[4] больше подходят для представления предпочтений критериев при принятии решений.

Операторы OWA типа 1^[5][6] были предложены для этой цели. Операторы OWA типа 1 предоставляют метод прямого агрегирования неопределенной информации с неопределенными весами через механизм OWA при мягком принятии решений и сбор данных, где эти неопределенные объекты моделируются нечеткими множествами.

Два определения операторов OWA типа 1 основаны на принципе расширения Заде и ${\displaystyle \alpha }$-срезы нечетких множеств. Два определения приводят к эквивалентным результатам.

Определения

Определение 1

Позволять ${\displaystyle F(X)}$ - множество нечетких множеств с областью дискурса ${\displaystyle X}$, оператор OWA типа 1 определяется следующим образом:^[6]

Учитывая n лингвистических весов ${\displaystyle \left\{{W^{i}}\right\}_{i=1}^{n}}$ в виде нечетких множеств, определенных в области дискурса ${\displaystyle U=[0,1]}$, OWA-оператор типа 1 - это отображение, ${\displaystyle \Phi }$,

${\displaystyle \Phi \colon F(X)\times \cdots \times F(X)\longrightarrow F(X)}$

${\displaystyle (A^{1},\cdots ,A^{n})\mapsto Y}$

такой, что

${\displaystyle \mu _{Y}(y)=\displaystyle \sup _{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\bar {w}}_{i}a_{\sigma (i)}=y}\left({\begin{array}{*{1}l}\mu _{W^{1}}(w_{1})\wedge \cdots \wedge \mu _{W^{n}}(w_{n})\wedge \mu _{A^{1}}(a_{1})\wedge \cdots \wedge \mu _{A^{n}}(a_{n})\end{array}}\right)}$

куда ${\displaystyle {\bar {w}}_{i}={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}}$,и ${\displaystyle \sigma \colon \{1,\cdots ,n\}\longrightarrow \{1,\cdots ,n\}}$ функция перестановки такая, что ${\displaystyle a_{\sigma (i)}\geq a_{\sigma (i+1)},\ \forall i=1,\cdots ,n-1}$, т.е. ${\displaystyle a_{\sigma (i)}}$ это ${\displaystyle i}$-й самый высокий элемент в наборе ${\displaystyle \left\{{a_{1},\cdots ,a_{n}}\right\}}$.

Определение 2

Используя альфа-разрезы нечетких множеств:^[6]

Учитывая n лингвистических весов ${\displaystyle \left\{{W^{i}}\right\}_{i=1}^{n}}$ в виде нечетких множеств, определенных в области дискурса ${\displaystyle U=[0,\;\;1]}$, то для каждого ${\displaystyle \alpha \in [0,\;1]}$, ${\displaystyle \alpha }$-уровневый оператор OWA типа 1 с ${\displaystyle \alpha }$-уровневые наборы ${\displaystyle \left\{{W_{\alpha }^{i}}\right\}_{i=1}^{n}}$ агрегировать ${\displaystyle \alpha }$-срезы нечетких множеств ${\displaystyle \left\{{A^{i}}\right\}_{i=1}^{n}}$ является:

${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)=\left\{{{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}}\left|{w_{i}\in W_{\alpha }^{i},\;a_{i}}\right.\in A_{\alpha }^{i},\;i=1,\ldots ,n}\right\}}$

куда ${\displaystyle W_{\alpha }^{i}=\{w|\mu _{W_{i}}(w)\geq \alpha \},A_{\alpha }^{i}=\{x|\mu _{A_{i}}(x)\geq \alpha \}}$, и ${\displaystyle \sigma :\{\;1,\cdots ,n\;\}\to \{\;1,\cdots ,n\;\}}$ функция перестановки такая, что ${\displaystyle a_{\sigma (i)}\geq a_{\sigma (i+1)},\;\forall \;i=1,\cdots ,n-1}$, т.е. ${\displaystyle a_{\sigma (i)}}$ это ${\displaystyle i}$ый крупный элемент в наборе ${\displaystyle \left\{{a_{1},\cdots ,a_{n}}\right\}}$.

Теорема о представлении операторов OWA типа 1

Учитывая п лингвистические веса ${\displaystyle \left\{{W^{i}}\right\}_{i=1}^{n}}$ в виде нечетких множеств, определенных в области дискурса ${\displaystyle U=[0,\;\;1]}$, а нечеткие множества ${\displaystyle A^{1},\cdots ,A^{n}}$, то имеем^[6]

${\displaystyle Y=G}$

куда ${\displaystyle Y}$ - результат агрегирования, полученный в соответствии с определением 1, и ${\displaystyle G}$ - результат, полученный в определении 2.

Проблемы программирования для операторов OWA Type-1

Согласно теореме о представлении операторов OWA типа 1, общий оператор OWA типа 1 можно разложить на серию ${\displaystyle \alpha }$-уровневые операторы OWA типа 1. На практике эта серия ${\displaystyle \alpha }$-уровневые операторы OWA типа 1 используются для построения результирующего нечеткого набора агрегации. Таким образом, нам нужно только вычислить левые конечные точки и правые конечные точки интервалов. ${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)}$. Затем результирующее нечеткое множество агрегации строится с функцией принадлежности следующим образом:

${\displaystyle \mu _{G}(x)=\operatorname {\bigvee } \limits _{\alpha :x\in \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{\alpha }}\alpha }$

Для левых конечных точек нам нужно решить следующую программную задачу:

${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{-}=\operatorname {\min } \limits _{\begin{array}{l}W_{\alpha -}^{i}\leq w_{i}\leq W_{\alpha +}^{i}A_{\alpha -}^{i}\leq a_{i}\leq A_{\alpha +}^{i}\end{array}}\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}/\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}}$

а для правильных конечных точек нам нужно решить следующую программную задачу:

${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{+}=\operatorname {\max } \limits _{\begin{array}{l}W_{\alpha -}^{i}\leq w_{i}\leq W_{\alpha +}^{i}A_{\alpha -}^{i}\leq a_{i}\leq A_{\alpha +}^{i}\end{array}}\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}/\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}}$

Был представлен быстрый метод решения двух программных задач, позволяющий эффективно выполнять операцию агрегирования OWA типа 1; подробности см. В документе.^[6]

Подход на альфа-уровне к работе OWA типа 1

Трехэтапный процесс:^[6]

• Шаг 1. Чтобы настроить ${\displaystyle \alpha }$- разрешение уровня в [0, 1].
• Шаг 2 - Для каждого ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$,

• Шаг 2.1 - Расчет ${\displaystyle \rho _{\alpha +}^{i_{0}^{\ast }}}$

1. Позволять ${\displaystyle i_{0}=1}$;
2. Если ${\displaystyle \rho _{\alpha +}^{i_{0}}\geq A_{\alpha +}^{\sigma (i_{0})}}$, остановка, ${\displaystyle \rho _{\alpha +}^{i_{0}}}$ это решение; в противном случае переходите к шагам 2.1-3.
3. ${\displaystyle i_{0}\leftarrow i_{0}+1}$, перейдите к Шагу 2.1-2.

• Шаг 2.2 Для расчета${\displaystyle \rho _{\alpha -}^{i_{0}^{\ast }}}$

1. Позволять ${\displaystyle i_{0}=1}$;
2. Если ${\displaystyle \rho _{\alpha -}^{i_{0}}\geq A_{\alpha -}^{\sigma (i_{0})}}$, остановка, ${\displaystyle \rho _{\alpha -}^{i_{0}}}$ это решение; в противном случае переходите к шагам 2.2-3.
3. ${\displaystyle i_{0}\leftarrow i_{0}+1}$, перейдите к шагу Шаг 2.2-2.

• Шаг 3. Построение нечеткого множества, полученного в результате агрегирования. ${\displaystyle G}$ на основе всех доступных интервалов ${\displaystyle \left[{\rho _{\alpha -}^{i_{0}^{\ast }},\;\rho _{\alpha +}^{i_{0}^{\ast }}}\right]}$:

${\displaystyle \mu _{G}(x)=\operatorname {\bigvee } \limits _{\alpha :x\in \left[{\rho _{\alpha -}^{i_{0}^{\ast }},\;\rho _{\alpha +}^{i_{0}^{\ast }}}\right]}\alpha }$

Особые случаи

• Любые операторы OWA, такие как операторы максимума, минимума, среднего;^[1]
• Операторы соединения нечетких множеств (типа 1),^[7] т.е. операторы нечеткого максимума;
• Познакомьтесь с операторами нечетких множеств (тип 1),^[7][8] т.е. операторы нечеткого минимума;
• Операторы типа соединения нечетких множеств (типа 1);^[6][9]
• Meet-подобные операторы нечетких множеств (типа 1).^[6][9]

Обобщения

Операторы OWA типа 2^[10] предложено объединить нечеткие множества типа 2 для мягкого принятия решений.

Рекомендации

1. Ягер, Р. Р. (1988). «Об операторах упорядоченного взвешенного усреднения при принятии многокритериальных решений». IEEE Transactions по системам, человеку и кибернетике. 18: 183–190. Дои:10.1109/21.87068. HDL:10338.dmlcz / 135605.
2. Ягер, Р. Р. и Кацпшик, Дж. (1997). Операторы упорядоченного взвешенного усреднения: теория и приложения. Kluwer: Norwell, Массачусетс.
3. Ягер, Р.Р., Кацпшик, Дж. И Беляков, Г. (2011). Последние разработки в теории и практике операторов упорядоченного взвешенного усреднения. Springer.
4. Заде, Л.А. (1965). «Нечеткие множества». Информация и контроль. 8 (3): 338–353. Дои:10.1016 / S0019-9958 (65) 90241-X.
5. Чжоу, С. М .; Ф. Чиклана; Р. И. Джон; Дж. М. Гарибальди (2008). «Операторы OWA типа 1 для агрегирования неопределенной информации с неопределенными весами, вызванные лингвистическими кванторами типа 2». Нечеткие множества и системы. 159 (24): 3281–3296. Дои:10.1016 / j.fss.2008.06.018.
6. Чжоу, С. М .; Ф. Чиклана; Р. И. Джон; Дж. М. Гарибальди (2011). «Агрегация на альфа-уровне: практический подход к работе OWA типа 1 для агрегирования неопределенной информации с приложениями для лечения рака груди» (PDF). IEEE Transactions по разработке знаний и данных. 23 (10): 1455–1468. Дои:10.1109 / TKDE.2010.191.
7. Mizumoto, M .; К. Танака (1976). «Некоторые свойства нечетких множеств типа 2». Информация и контроль. 31 (4): 312–40. Дои:10.1016 / с0019-9958 (76) 80011-3.
8. Заде, Л. А. (1975). «Понятие лингвистической переменной и его применение для приближенного рассуждения-1». Информационные науки. 8 (3): 199–249. Дои:10.1016/0020-0255(75)90036-5. HDL:10338.dmlcz / 143246.
9. Чжоу, С. М .; Ф. Чиклана; Р. И. Джон; Дж. М. Гарибальди (2011). Фаззификация операторов OWA при агрегировании неопределенной информации. Р. Р. Ягер, Дж. Кацпшик и Г. Беляков (ред.): Последние разработки в теории и практике упорядоченных операторов взвешенного усреднения. Исследования в области нечеткости и мягких вычислений. Springer. С. 91–109. Дои:10.1007/978-3-642-17910-5_5. ISBN  978-3-642-17909-9.
10. Zhou, S.M .; Р. И. Джон; Ф. Чиклана; Дж. М. Гарибальди (2010). «Об агрегировании неопределенной информации операторами OWA 2-го типа для мягкого принятия решений» (PDF). Международный журнал интеллектуальных систем. 25 (6): 540–558. Дои:10.1002 / внут.20420.