Ортогональные многочлены на единичной окружности - Orthogonal polynomials on the unit circle - Wikipedia

В математике ортогональные многочлены на единичной окружности семьи полиномы, ортогональные относительно интегрирования над единичный круг в комплексная плоскость, для некоторых вероятностная мера на единичном круге. Их представил Сегу (1920, 1921, 1939 ).

Определение

Предположим, что ${\displaystyle \mu }$ - вероятностная мера на единичной окружности комплексной плоскости, поддерживать не конечно. Ортогональные многочлены, ассоциированные с ${\displaystyle \mu }$ многочлены ${\displaystyle \Phi _{n}(z)}$ с ведущим термином ${\displaystyle z^{n}}$ ортогональные относительно меры ${\displaystyle \mu }$.

Повторение Сегу

Повторение Сегу утверждает, что

${\displaystyle \Phi _{0}(z)=1}$

${\displaystyle \Phi _{n+1}(z)=z\Phi _{n}(z)-{\overline {\alpha }}_{n}\Phi _{n}^{*}(z)}$

куда

${\displaystyle \Phi _{n}^{*}(z)=z^{n}{\overline {\Phi _{n}(1/{\overline {z}})}}}$

- многочлен с обратными и комплексно сопряженными коэффициентами, а Коэффициенты Верблунского ${\displaystyle \alpha _{n}}$ - комплексные числа с абсолютными значениями меньше 1.

Теорема Верблунского

Теорема Верблунского утверждает, что любая последовательность комплексных чисел в открытом единичном круге является последовательностью коэффициентов Верблунского для единственной вероятностной меры на единичной окружности с бесконечным носителем.

Теорема Геронимуса

Теорема Геронимуса утверждает, что коэффициенты Верблунского меры μ являются Параметры Шура функции ${\displaystyle f}$ определяется уравнениями

${\displaystyle {\frac {1+zf(z)}{1-zf(z)}}=F(z)=\int {\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}d\mu .}$

Теорема Бакстера

Теорема Бакстера утверждает, что коэффициенты Верблунского образуют абсолютно сходящийся ряд тогда и только тогда, когда моменты ${\displaystyle \mu }$ образуют абсолютно сходящийся ряд, а весовая функция ${\displaystyle w}$ везде строго положительно.

Теорема Сегё

Теорема Сегё утверждает, что

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-|\alpha _{n}|^{2})=\exp {\big (}\int _{0}^{2\pi }\log(w(\theta ))d\theta /2\pi {\big )}}$

куда ${\displaystyle wd\theta /2\pi }$ является абсолютно непрерывной частью меры ${\displaystyle \mu }$.

Теорема Рахманова

Теорема Рахманова утверждает, что если абсолютно непрерывная часть ${\displaystyle w}$ меры ${\displaystyle \mu }$ положительна почти всюду, то коэффициенты Верблунского ${\displaystyle \alpha _{n}}$ стремятся к 0.

Примеры

В Полиномы Роджерса – Сегё являются примером ортогональных многочленов на единичной окружности.

Рекомендации

• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S.C .; Коэкоек, Рулоф; Сварттоу, Рене Ф. (2010), «Ортогональные многочлены на единичной окружности», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
• Саймон, Барри (2005), Ортогональные многочлены на единичной окружности. Часть 1. Классическая теория., Публикации коллоквиума Американского математического общества, 54, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-3446-6, МИСТЕР  2105088
• Саймон, Барри (2005), Ортогональные многочлены на единичной окружности. Часть 2. Спектральная теория., Публикации коллоквиума Американского математического общества, 54, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-3675-0, МИСТЕР  2105089
• Сегё, Габор (1920), "Beiträge zur Theorie der Toeplitzschen Formen", Mathematische Zeitschrift, 6 (3–4): 167–202, Дои:10.1007 / BF01199955, ISSN  0025-5874, S2CID  118147030
• Сегё, Габор (1921), "Beiträge zur Theorie der Toeplitzschen Formen", Mathematische Zeitschrift, 9 (3–4): 167–190, Дои:10.1007 / BF01279027, ISSN  0025-5874, S2CID  125157848
• Сегё, Габор (1939), Ортогональные многочлены, Публикации коллоквиума, XXIII, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1023-1, МИСТЕР  0372517