Теория колебаний - Oscillation theory

Для использования в других целях см. Теория колебаний (значения).

В математика, в области обыкновенные дифференциальные уравнения, нетривиальное решение обыкновенное дифференциальное уравнение

${displaystyle F(x,y,y', dots , y^{(n-1)})=y^{(n)}quad xin [0,+infty )}$

называется колеблющийся если у него бесконечное количество корни; иначе это называется не колеблющийся. Дифференциальное уравнение называется колеблющийся если оно имеет колеблющееся решение. Число корней несет также информацию о спектр связанных краевые задачи.

Примеры

Дифференциальное уравнение

${displaystyle y''+y=0}$

колеблется как sin (Икс) является решением.

Связь со спектральной теорией

Теория колебаний была инициирована Жак Шарль Франсуа Штурм в его исследованиях Задачи Штурма – Лиувилля. с 1836 г. Там он показал, что n-я собственная функция задачи Штурма – Лиувилля имеет ровно n-1 корень. Для одномерного Уравнение Шредингера вопрос о колебаниях / неосцилляции отвечает на вопрос, накапливаются ли собственные значения в нижней части непрерывного спектра.

Теория относительных колебаний

В 1996 г. Gesztesy –Саймон –Teschl показал, что количество корней Определитель Вронского двух собственных функций задачи Штурма – Лиувилля дает количество собственных значений между соответствующими собственными значениями. Позднее он был обобщен Крюгером – Тешлем на случай двух собственных функций двух различных задач Штурма – Лиувилля. Исследование числа корней определителя Вронского двух решений известно как теория относительных колебаний.

Смотрите также

Классическими результатами теории колебаний являются:

• Теорема Кнезера (дифференциальные уравнения)
• Теорема сравнения Штурма – Пиконе
• Теорема об отделимости Штурма

Рекомендации

• Аткинсон, Ф. (1964). Дискретные и непрерывные краевые задачи.. Академическая пресса. ISBN  978-0-08-095516-2.
• Gesztesy, F .; Саймон, Б .; Тешл, Г. (1996). «Нули вронскианской и перенормированной теории колебаний» (PDF). Являюсь. J. Math. 118 (3): 571–594. Дои:10.1353 / ajm.1996.0024.
• Крейт, К. (1973). Теория колебаний. Конспект лекций по математике. 324. Springer. Дои:10.1007 / BFb0067537. ISBN  978-3-540-40005-9.
• Krüger, H .; Тешл, Г. (2009). «Теория относительных колебаний, взвешенные нули вронскиана и функция спектрального сдвига». Commun. Математика. Phys. 287 (2): 613–640. arXiv:математика / 0703574. Bibcode:2009CMaPh.287..613K. Дои:10.1007 / s00220-008-0600-8.
• Sturm, J.C.F. (1836 г.). "Воспоминание о различных линейных уравнениях второго порядка". J. Math. Pures Appl. 1: 106–186. Дои:10.1007/978-3-7643-7990-2_30.
• Суонсон, К.А. (2016) [1968]. Сравнение и теория колебаний линейных дифференциальных уравнений. Эльзевир. ISBN  978-1-4832-6667-1.
• Тешль, Г. (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-8328-0.
• Вайдманн, Дж. (1987). Спектральная теория обыкновенных дифференциальных операторов.. Конспект лекций по математике. 1258. Springer. Дои:10.1007 / BFb0077960. ISBN  978-3-540-47912-3.