Параметрическое программирование - Parametric programming

Параметрическое программирование это тип математическая оптимизация, где проблема оптимизации решается как функция одного или нескольких параметры.^[1] Разрабатывался параллельно с Анализ чувствительности, его самое раннее упоминание можно найти в Тезис с 1952 г.^[2] С тех пор произошли значительные изменения для случаев нескольких параметров, наличия целое число переменные, а также нелинейности. В частности, связь между параметрическим программированием и прогнозирующий контроль модели созданная в 2000 году, способствовала повышенному интересу к теме.^[3][4]

Обозначение

В целом рассматривается следующая оптимизационная задача

${\displaystyle {\begin{aligned}J^{*}(\theta )={}\min _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\ &f(x,\theta )\\{\text{subject to}}\ &g(x,\theta )\leq 0.\\\theta \in \Theta \subset \mathbb {R} ^{m}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle x}$ переменная оптимизации, ${\displaystyle \theta }$ параметры, ${\displaystyle f(x,\theta )}$ это целевая функция и ${\displaystyle g(x,\theta )}$ обозначить ограничения. Набор ${\displaystyle \Theta }$ обычно называется пространством параметров.

Классификация

В зависимости от характера ${\displaystyle f(x,\theta )}$ и ${\displaystyle g(x,\theta )}$ и есть ли в задаче оптимизации целочисленные переменные, задачи параметрического программирования классифицируются по различным подклассам:

• Если присутствует более одного параметра, т.е. ${\displaystyle m>1}$, то ее часто называют задачей многопараметрического программирования.^[5]
• Если присутствуют целочисленные переменные, то проблема называется (мульти) параметрической задачей смешанно-целочисленного программирования.^[6]
• Если ограничения аффинный, то выполняются дополнительные классификации в зависимости от характера целевой функции в (мульти) параметрических (смешанно-целочисленных) задачах линейного, квадратичного и нелинейного программирования. Обратите внимание, что обычно предполагается, что ограничения являются аффинными.^[7]

Рекомендации

1. Гал, Томас (1995). Постоптимальный анализ, параметрическое программирование и связанные темы: вырожденность, принятие многокритериальных решений, избыточность (2-е изд.). Берлин: В. де Грюйтер. ISBN  978-3-11-087120-3.
2. Гал, Томас; Гринберг, Харви Дж. (1997). Достижения в области анализа чувствительности и параметрического программирования. Международная серия исследований по операциям и менеджменту. 6. Бостон: Kluwer Academic Publishers. Дои:10.1007/978-1-4615-6103-3. ISBN  978-0-7923-9917-9.
3. Бемпорад, Альберто; Морари, Манфред; Дуа, Вивек; Пистикопулос, Эфстратиос Н. (2000). «Явное решение модели прогнозирующего управления с помощью многопараметрического квадратичного программирования». Труды Американской конференции по контролю 2000 г.. п. 872. Дои:10.1109 / ACC.2000.876624. ISBN  0-7803-5519-9.
4. Бемпорад, Альберто; Морари, Манфред; Дуа, Вивек; Пистикопулос, Эфстратиос Н. (январь 2002 г.). «Явный линейно-квадратичный регулятор для систем со связями». Automatica. 38 (1): 3–20. CiteSeerX  10.1.1.67.2946. Дои:10.1016 / S0005-1098 (01) 00174-1.
5. Гал, Томас; Недома, Йозеф (1972). «Многопараметрическое линейное программирование». Наука управления. 18 (7): 406–422. Дои:10.1287 / mnsc.18.7.406. JSTOR  2629358.
6. Дуа, Вивек; Пистикопулос, Эфстратиос Н. (октябрь 1999 г.). «Алгоритмы решения многопараметрических смешано-целочисленных нелинейных задач оптимизации». Исследования в области промышленной и инженерной химии. 38 (10): 3976–3987. Дои:10.1021 / ie980792u.
7. Pistikopoulos, Efstratios N .; Георгиадис, Майкл С .; Дуа, Вивек (2007). Теория, алгоритмы и приложения многопараметрического программирования. Вайнхайм: Wiley-VCH. Дои:10.1002/9783527631216. ISBN  9783527316915.