Формула Парсеваля – Гутцмера - Parseval–Gutzmer formula - Wikipedia
В математике Формула Парсеваля – Гутцмера заявляет, что если
является аналитическая функция на закрытый диск радиуса р с Серия Тейлор

тогда для z = повторноiθ на границе диска,

который также может быть записан как

Доказательство
Формула интеграла Коши для коэффициентов утверждает, что для вышеуказанных условий:

куда γ определяется как круговой путь вокруг начала радиуса р. Также для
у нас есть:
Применяя оба этих факта к проблеме, начиная со второго факта:
![{ displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ {2 pi} left | f left (re ^ {i theta} right) right | ^ {2} , mathrm { d} theta & = int _ {0} ^ {2 pi} f left (re ^ {i theta} right) { overline {f left (re ^ {i theta} right) }} , mathrm {d} theta [6pt] & = int _ {0} ^ {2 pi} f left (re ^ {i theta} right) left ( sum _ {k = 0} ^ { infty} { overline {a_ {k} left (re ^ {i theta} right) ^ {k}}} right) , mathrm {d} theta && { text {Использование разложения Тейлора для сопряженного}} [6pt] & = int _ {0} ^ {2 pi} f left (re ^ {i theta} right) left ( sum _ {k = 0} ^ { infty} { overline {a_ {k}}} left (re ^ {- i theta} right) ^ {k} right) , mathrm {d} theta [6pt] & = sum _ {k = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {2 pi} f left (re ^ {i theta} right) { overline {a_ {k}}} left (re ^ {- i theta} right) ^ {k} , mathrm {d} theta && { text {Равномерная сходимость рядов Тейлора}} [6pt ] & = sum _ {k = 0} ^ { infty} left (2 pi { overline {a_ {k}}} r ^ {2k} right) left ({ frac {1} { 2 { pi} i}} int _ {0} ^ {2 pi} { frac {f left (re ^ {i theta} right)} {(re ^ {i theta}) ^ {k + 1}}} {rie ^ {i theta}} right) mathrm {d} theta & = sum _ {k = 0} ^ { infty} left (2 pi { overline {a_ {k}}} r ^ {2k} right) a_ {k} && { text {Применение интеграла Коши Формула}} & = {2 pi} sum _ {k = 0} ^ { infty} {| a_ {k} | ^ {2} r ^ {2k}} end {выравнивается}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4226b99415ef1d1ce74760cd96c184e0ddd44b91)
Дальнейшие приложения
Используя эту формулу, можно показать, что

куда

Это делается с помощью интеграла

Рекомендации