Теорема Партасаратиса - Parthasarathys theorem - Wikipedia

В математика - и в частности изучение игр на единичном квадрате - Теорема Партасарати является обобщением Теорема фон Неймана о минимаксе. В нем говорится, что определенный класс игр имеет смешанную ценность при условии, что хотя бы один из игроков имеет стратегия которое ограничивается абсолютно непрерывными распределениями относительно Мера Лебега (другими словами, одному из игроков запрещено использовать чистая стратегия ).

Теорема приписывается Индийский математик Тирувенкатачари Партхасарати.

Теорема

Позволять ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ стоять за единичный интервал ${\displaystyle [0,1]}$; ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}}$ обозначим множество распределения вероятностей на ${\displaystyle X}$ (с ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{Y}}$ определяется аналогично); и ${\displaystyle A_{X}}$ обозначим множество абсолютно непрерывный распределения на ${\displaystyle X}$ (с ${\displaystyle A_{Y}}$ определяется аналогично).

Предположим, что ${\displaystyle k(x,y)}$ ограничена на единичном квадрате ${\displaystyle X\times Y=\{(x,y):0\leq x,y\leq 1\}}$ и это ${\displaystyle k(x,y)}$ является непрерывный кроме, возможно, на конечный количество изгибов формы ${\displaystyle y=\phi _{k}(x)}$ (с ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$) где ${\displaystyle \phi _{k}(x)}$ являются непрерывными функциями. За ${\displaystyle \mu \in M_{X},\lambda \in M_{Y}}$, определять

${\displaystyle k(\mu ,\lambda )=\int _{y=0}^{1}\int _{x=0}^{1}k(x,y)\,d\mu (x)\,d\lambda (y)=\int _{x=0}^{1}\int _{y=0}^{1}k(x,y)\,d\lambda (y)\,d\mu (x).}$

потом

${\displaystyle \max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}\,\inf _{\lambda \in A_{Y}}k(\mu ,\lambda )=\inf _{\lambda \in A_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu ,\lambda ).}$

Это эквивалентно утверждению, что игра, индуцированная ${\displaystyle k(\cdot ,\cdot )}$ имеет ценность. Обратите внимание, что один игрок (WLOG ${\displaystyle Y}$) запрещено использовать чистую стратегию.

Партасарати демонстрирует игру, в которой

${\displaystyle \max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}\,\inf _{\lambda \in {\mathcal {M}}_{Y}}k(\mu ,\lambda )\neq \inf _{\lambda \in {\mathcal {M}}_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu ,\lambda )}$

что, таким образом, не имеет ценности. Противоречия нет, потому что в этом случае ни один из игроков не ограничен абсолютно непрерывными распределениями (и демонстрация того, что игра не имеет ценности, требует от обоих игроков использования чистых стратегий).

Рекомендации

• Т. Партасарати 1970. Об играх над единичным квадратом, СИАМ, том 19, номер 2.