Частица в одномерной решетке - Particle in a one-dimensional lattice

В квантовая механика, то частица в одномерной решетке проблема, возникающая в модели периодического кристаллическая решетка. Потенциал вызван ионы в периодической структуре кристалла, создавая электромагнитное поле поэтому электроны подвергаются регулярному потенциалу внутри решетки. Это обобщение модель свободных электронов, предполагающий нулевой потенциал внутри решетки.

Определение проблемы

Когда говорят о твердых материалах, в основном речь идет о кристаллах - периодических решетках. Здесь мы обсудим одномерную решетку положительных ионов. Предполагая, что расстояние между двумя ионами равно а, потенциал в решетке будет выглядеть примерно так:

Математическое представление потенциала представляет собой периодическую функцию с периодом а. В соответствии с Теорема Блоха,^[1] решение волновой функции Уравнение Шредингера когда потенциал периодический, можно записать как:

${\displaystyle \psi (x)=e^{ikx}u(x),}$

куда ты(Икс) это периодическая функция что удовлетворяет ты(Икс + а) = ты(Икс). Это фактор Блоха с показателем Флоке ${\displaystyle k}$ что приводит к зонной структуре энергетического спектра уравнения Шредингера с периодическим потенциалом, подобным потенциалу Кронига – Пенни, или косинусной функцией, как в уравнении Матье.

При приближении к краям решетки возникают проблемы с граничным условием. Следовательно, мы можем представить решетку иона в виде кольца, следующего за Граничные условия Борна – фон Кармана.. Если L - длина решетки, так что L ≫ а, то количество ионов в решетке настолько велико, что при рассмотрении одного иона его окружение почти линейно, а волновая функция электрона не меняется. Итак, теперь вместо двух граничных условий мы получаем одно круговое граничное условие:

${\displaystyle \psi (0)=\psi (L).}$

Если N - количество ионов в решетке, то имеем соотношение: аН = L. Замена в граничном условии и применение теоремы Блоха приведет к квантованию для k:

${\displaystyle \psi (0)=e^{ik\cdot 0}u(0)=e^{ikL}u(L)=\psi (L)}$

${\displaystyle u(0)=e^{ikL}u(L)=e^{ikL}u(Na)\to e^{ikL}=1}$

${\displaystyle \Rightarrow kL=2\pi n\to k={2\pi \over L}n\qquad \left(n=0,\pm 1,\cdots ,\pm {N \over 2}\right).}$

Модель Кронига – Пенни

Модель Кронига – Пенни (названа в честь Ральф Крониг и Уильям Пенни^[2]) представляет собой простую идеализированную квантово-механическую систему, состоящую из бесконечного периодического массива прямоугольные потенциальные барьеры.

Потенциальная функция аппроксимируется прямоугольным потенциалом:

С помощью Теорема Блоха, нам нужно только найти решение для одного периода, убедиться, что оно непрерывное и плавное, и убедиться, что функция ты(Икс) также непрерывный и гладкий.

Учитывая единичный период потенциала:
У нас здесь два региона. Решим для каждого отдельно: Пусть E значение энергии над колодцем (E> 0)

${\displaystyle \mathrm {For} \quad 0<x<(a-b)}$ :

${\displaystyle {-\hbar ^{2} \over 2m}\psi _{xx}=E\psi }$

${\displaystyle \Rightarrow \psi =Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}\quad \left(\alpha ^{2}={2mE \over \hbar ^{2}}\right)}$

${\displaystyle \mathrm {For} \quad -b<x<0}$ :

${\displaystyle {-\hbar ^{2} \over 2m}\psi _{xx}=(E+V_{0})\psi }$

${\displaystyle \Rightarrow \psi =Be^{i\beta x}+B'e^{-i\beta x}\quad \left(\beta ^{2}={2m(E+V_{0}) \over \hbar ^{2}}\right).}$

Найти ты(Икс) в каждой области нам нужно управлять волновой функцией электрона:

${\displaystyle \psi (0<x<a-b)=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}=e^{ikx}\cdot \left(Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}\right)\,\!}$

${\displaystyle \Rightarrow u(0<x<a-b)=Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}.\,\!}$

И таким же образом:

${\displaystyle u(-b<x<0)=Be^{i(\beta -k)x}+B'e^{-i(\beta +k)x}.}$

Чтобы завершить решение, нам нужно убедиться, что функция вероятности является непрерывной и гладкой, то есть:

${\displaystyle \psi (0^{-})=\psi (0^{+})\qquad \psi '(0^{-})=\psi '(0^{+}).}$

И это ты(Икс) и u ′(Икс) периодические:

${\displaystyle u(-b)=u(a-b)\qquad u'(-b)=u'(a-b).}$

Эти условия дают следующую матрицу:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(a-b)}&e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(a-b)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

Чтобы получить нетривиальное решение, определитель матрицы должен быть равен 0. Это приводит нас к следующему выражению:

${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (a-b)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (a-b)].}$

Чтобы еще больше упростить выражение, мы выполняем следующие приближения:

${\displaystyle b\to 0;\quad V_{0}\to \infty ;\quad V_{0}b=\mathrm {constant} }$

${\displaystyle \Rightarrow \beta ^{2}b=\mathrm {constant} ;\quad \alpha ^{2}b\to 0}$

${\displaystyle \Rightarrow \beta b\to 0;\quad \sin(\beta b)\to \beta b;\quad \cos(\beta b)\to 1.}$

Выражение теперь будет:

${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)+P{\frac {\sin(\alpha a)}{\alpha a}},\qquad P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}.}$

Для значений энергии внутри колодца (E <0), получаем:

${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cosh[\alpha (a-b)]-{\beta ^{2}-\alpha ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sinh[\alpha (a-b)],}$

с ${\displaystyle \alpha ^{2}={2m|E| \over \hbar ^{2}}}$ и ${\displaystyle \beta ^{2}={2m(V_{0}-|E|) \over \hbar ^{2}}}$.

Следуя тем же приближениям, что и выше (${\displaystyle b\to 0;\,V_{0}\to \infty ;\,V_{0}b=\mathrm {constant} }$), приходим к

${\displaystyle \cos(ka)=\cosh(\alpha a)+P{\frac {\sinh(\alpha a)}{\alpha a}}}$

по той же формуле для п как и в предыдущем случае ${\displaystyle \left(P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}\right)}$.

Запрещенные зоны в модели Кронига – Пенни.

Значение выражения, которому cos (k a) приравнивается в дисперсионном соотношении, с P = 1,5. Черные полосы обозначают области ${\displaystyle \alpha a}$ для которого можно вычислить k.

Дисперсионное соотношение для модели Кронига – Пенни с P = 1.5.

В предыдущем абзаце единственными переменными, не определяемыми параметрами физической системы, являются энергия E и импульс кристалла k. Выбрав значение для E, можно вычислить правую часть, а затем вычислить k взяв ${\displaystyle \arccos }$ с обеих сторон. Таким образом, выражение порождает соотношение дисперсии.

Правая часть последнего выражения выше может иногда быть больше 1 или меньше -1, и в этом случае нет значения k что может сделать уравнение верным. С ${\displaystyle \alpha a\propto {\sqrt {E}}}$, это означает, что существуют определенные значения E для которых отсутствуют собственные функции уравнения Шредингера. Эти ценности составляют запрещенная зона.

Таким образом, модель Кронига – Пенни является одним из простейших периодических потенциалов, демонстрирующих запрещенную зону.

Модель Кронига – Пенни: альтернативное решение

Предлагается альтернативное лечение подобной проблемы. Здесь у нас есть дельта периодический потенциал:

${\displaystyle V(x)=A\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n\cdot a).}$

А некоторая константа, и а - постоянная решетки (расстояние между каждым узлом). Поскольку этот потенциал периодический, мы могли бы разложить его в ряд Фурье:

${\displaystyle V(x)=\sum _{K}{\tilde {V}}(K)\cdot e^{i\cdot K\cdot x},}$

куда

${\displaystyle {\tilde {V}}(K)={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\,V(x)\,e^{-i\cdot K\cdot x}={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\sum _{n=-\infty }^{\infty }A\cdot \delta (x-na)\,e^{-i\,K\,x}={\frac {A}{a}}}$.

Волновая функция, согласно теореме Блоха, равна ${\displaystyle \psi _{k}(x)=e^{ikx}u_{k}(x)}$ куда ${\displaystyle u_{k}(x)}$ - это функция, периодическая в решетке, что означает, что мы можем разложить ее также в ряд Фурье:

${\displaystyle u_{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)e^{iKx}.}$

Таким образом, волновая функция:

${\displaystyle \psi _{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)\,e^{i(k+K)x}.}$

Подставляя это в уравнение Шредингера, мы получаем:

${\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]\cdot {\tilde {u}}_{k}(K)+\sum _{K'}{\tilde {V}}(K-K')\,{\tilde {u}}_{k}(K')=0}$

или скорее:

${\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]\cdot {\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')=0}$

Теперь мы понимаем, что:

${\displaystyle u_{k}(0)=\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')}$

Подключите это к уравнению Шредингера:

${\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]\cdot {\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}u_{k}(0)=0}$

Решение этого для ${\displaystyle {\tilde {u}}_{k}(K)}$ мы получили:

${\displaystyle {\tilde {u}}_{k}(K)={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}f(k)}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}$

Суммируем это последнее уравнение по всем значениям K прибыть в:

${\displaystyle \sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}$

Или же:

${\displaystyle u_{k}(0)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}$

Удобно, ${\displaystyle u_{k}(0)}$ отменяем выходы и получаем:

${\displaystyle 1=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}}$

Или же:

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}}$

Чтобы избавить себя от ненужных усилий по записи, мы определяем новую переменную:

${\displaystyle \alpha ^{2}:={\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}}$

и наконец наше выражение:

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+K)^{2}}}}$

Сейчас же, K - вектор обратной решетки, что означает, что сумма по K на самом деле является суммой целых кратных ${\displaystyle {\frac {2\pi }{a}}}$:

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}}$

Мы можем немного подтасовать это выражение, чтобы сделать его более наглядным (используйте Разложение на частичную дробь ):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}\\&=-{\frac {1}{2\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})-\alpha }}-{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})+\alpha }}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\end{aligned}}}$

Если мы используем красивое тождество суммы функции котангенса (Уравнение 18 ) который говорит:

${\displaystyle \cot(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi n+2x}}-{\frac {1}{2\pi n-2x}}}$

и вставив его в наше выражение, мы получаем:

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\cot \left({\tfrac {ka}{2}}-{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {ka}{2}}+{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)\right]}$

Мы используем сумму детская кроватка а затем продукт грех (что является частью формулы для суммы детская кроватка) прийти к:

${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)+{\frac {mA}{\hbar ^{2}\alpha }}\sin(\alpha a)}$

Это уравнение показывает связь между энергией (через α) и волновой вектор, k, и, как видите, левая часть уравнения может находиться в диапазоне от −1 к 1 то есть некоторые ограничения на значения, которые α (и, таким образом, энергия) может принимать, то есть в некоторых диапазонах значений энергии нет решения в соответствии с этим уравнением, и, таким образом, система не будет иметь этих энергий: энергетические промежутки. Это так называемые запрещенные зоны, которые, как можно показать, существуют в любой форма периодического потенциала (не только дельта- или квадратные барьеры).

Для другого и подробного расчета формулы зазора (то есть для зазора между зонами) и расщепления уровней собственных значений одномерного уравнения Шредингера см. Müller-Kirsten.^[3] Соответствующие результаты для косинусного потенциала (уравнение Матье) также подробно представлены в этой ссылке.

Смотрите также

• Модель свободных электронов
• Приближение пустой решетки
• Модель почти свободных электронов
• Кристальная структура
• Функция Матье

Рекомендации

1. Блох, Феликс (1929). "Über die Quantenmechanik der Elektronen в Kristallgittern". Zeitschrift für Physik (на немецком). ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 52 (7–8): 555–600. Дои:10.1007 / bf01339455. ISSN  1434-6001.
2. de L. Kronig, R .; Пенни, У. Г. (3 февраля 1931 г.). «Квантовая механика электронов в кристаллических решетках». Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. Королевское общество. 130 (814): 499–513. Дои:10.1098 / RSPA.1931.0019. ISSN  1364-5021.
3. Харальд Дж. В. Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд., World Scientific (Сингапур, 2012), 325–329, 458–477.

внешняя ссылка

• "Модель Кронига – Пенни. "Майкл Краучер, интерактивный расчет 1d периодической зонной структуры потенциала с использованием Mathematica, из Демонстрационный проект Wolfram.