Модель свободных электронов - Free electron model

Эта статья о твердотельной модели металлов. Для модели свободного электронного газа см. Ферми газ.

В физика твердого тела, то модель свободных электронов простая модель поведения носители заряда в металлический твердый. Разработан в 1927 г.^[1] в основном Арнольд Зоммерфельд, объединившие классический Модель Друде с квантово-механический Статистика Ферми – Дирака и поэтому он также известен как Модель Друде – Зоммерфельда.

Учитывая его простоту, он удивительно успешно объясняет многие экспериментальные явления, особенно

• то Закон Видемана – Франца что касается электрическая проводимость и теплопроводность;
• температурная зависимость электронная теплоемкость;
• форма электронного плотность состояний;
• диапазон значений энергии связи;
• электропроводность;
• то Коэффициент Зеебека из термоэлектрический эффект;
• тепловая электронная эмиссия и полевая электронная эмиссия из сыпучих металлов.^{[нужна цитата ]}

Модель свободных электронов разрешила многие несоответствия, связанные с моделью Друде, и дала представление о некоторых других свойствах металлов. Модель свободных электронов считает, что металлы состоят из квантового электронного газа, где ионы практически не играют роли. Модель может быть очень предсказуемой в применении к щелочь и благородные металлы.

Идеи и предположения

В модели свободных электронов учитываются четыре основных допущения:

• Приближение свободных электронов: взаимодействием между ионами и валентными электронами в основном пренебрегают, за исключением граничных условий. Ионы только сохраняют нейтральный заряд в металле. В отличие от модели Друде, ионы не обязательно являются источником столкновений.
• Независимое электронное приближение: Взаимодействие между электронами игнорируется. Электростатические поля в металлах слабые из-за экранирующий эффект.
• Приближение времени релаксации: существует некий неизвестный механизм рассеяния, такой, что вероятность столкновения электронов обратно пропорциональна времени релаксации. ${\displaystyle \tau }$, который представляет собой среднее время между столкновениями. Столкновения не зависят от электронной конфигурации.
• Принцип исключения Паули: Каждое квантовое состояние системы может быть занято только одним электроном. Это ограничение доступных электронных состояний учитывается Статистика Ферми – Дирака (смотрите также Ферми газ ). Основные предсказания модели свободных электронов получены с помощью Расширение Зоммерфельда заполнения Ферми – Дирака для энергий около Уровень Ферми.

Название модели происходит от первых двух предположений, так как каждый электрон можно рассматривать как свободная частица с соответствующей квадратичной зависимостью между энергией и импульсом.

Кристаллическая решетка не учитывается явно в модели свободных электронов, но квантово-механическое обоснование было дано годом позже (1928 г.) Теорема Блоха: несвязанный электрон движется в периодическом потенциале как свободный электрон в вакууме, за исключением масса электрона м_е становясь эффективная масса м * которые могут значительно отличаться от м_е (можно даже использовать отрицательную эффективную массу для описания проводимости как электронные дыры ). Эффективные массы могут быть получены из ленточная структура вычислений, которые изначально не учитывались в модели свободных электронов.

Из модели Друде

Основная статья: Модель Друде

Многие физические свойства вытекают непосредственно из Модель Друде, так как некоторые уравнения не зависят от статистического распределения частиц. Принимая классическое распределение скоростей идеального газа или распределение скорости Ферми газ изменяет только результаты, связанные со скоростью электронов.

В основном модель свободных электронов и модель Друде предсказывают одинаковую электрическую проводимость постоянного тока. σ за Закон Ома, то есть

${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} \quad }$ с ${\displaystyle \quad \sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m_{e}}},}$

где ${\displaystyle \mathbf {J} }$ это плотность тока, ${\displaystyle \mathbf {E} }$ - внешнее электрическое поле, ${\displaystyle n}$ это электронная плотность (количество электронов / объем), ${\displaystyle \tau }$ это среднее свободное время и ${\displaystyle e}$ это электрический заряд электрона.

Другие величины, которые остаются такими же в рамках модели свободных электронов, как и в модели Друде, - это восприимчивость к переменному току, плазменная частота, то магнитосопротивление, а коэффициент Холла, связанный с эффект Холла.

Свойства электронного газа

Основная статья: Ферми газ

Многие свойства модели свободных электронов прямо следуют из уравнений, связанных с ферми-газом, поскольку приближение независимых электронов приводит к ансамблю невзаимодействующих электронов. Для трехмерного электронного газа мы можем определить Энергия Ферми так как

${\displaystyle E_{\rm {F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left(3\pi ^{2}n\right)^{\frac {2}{3}},}$

где ${\displaystyle \hbar }$ сокращенный Постоянная Планка. В Энергия Ферми определяет энергию электрона наивысшей энергии при нулевой температуре. Для металлов энергия Ферми порядка единиц электронвольт выше минимума энергии зоны свободных электронов.^[2]

В трех измерениях плотность состояний газа фермионы пропорциональна квадратному корню из кинетической энергии частиц.

Плотность состояний

3D плотность состояний (количество энергетических состояний на энергию на объем) невзаимодействующего электронного газа определяется как:

${\displaystyle g(E)={\frac {m_{e}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}{\sqrt {2m_{e}E}}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E_{\rm {F}}}}{\sqrt {\frac {E}{E_{\rm {F}}}}},}$

где ${\textstyle E\geq 0}$ это энергия данного электрона. Эта формула учитывает вырождение спина, но не учитывает возможный сдвиг энергии из-за дна зона проводимости. Для 2D плотность состояний постоянна, а для 1D обратно пропорциональна квадратному корню из энергии электрона.

Уровень Ферми

В химический потенциал ${\displaystyle \mu }$ электронов в твердом теле также известен как Уровень Ферми и, как и связанные Энергия Ферми, часто обозначаемый ${\displaystyle E_{\rm {F}}}$. В Расширение Зоммерфельда можно использовать для расчета уровня Ферми (${\displaystyle T>0}$) при более высоких температурах как:

${\displaystyle E_{\rm {F}}(T)=E_{\rm {F}}(T=0)\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {T}{T_{\rm {F}}}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {T}{T_{\rm {F}}}}\right)^{4}+\cdots \right],}$

где ${\displaystyle T}$ это температура, и мы определяем ${\textstyle T_{\rm {F}}=E_{\rm {F}}/k_{\rm {B}}}$ как Температура Ферми (${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ является Постоянная Больцмана ). Пертурбативный подход оправдан, поскольку температура Ферми обычно составляет около 10⁵ K для металла, следовательно, при комнатной температуре или меньшей энергии Ферми ${\displaystyle E_{\rm {F}}(T=0)}$ и химический потенциал ${\displaystyle E_{\rm {F}}(T>0)}$ практически эквивалентны.

Сжимаемость металлов и давление вырождения

Полная энергия на единицу объема (при ${\textstyle T=0}$) также можно вычислить интегрированием по фазовое пространство системы, получаем

${\displaystyle u(0)={\frac {3}{5}}nE_{\rm {F}},}$

которое не зависит от температуры. Сравните с энергией на электрон идеального газа: ${\textstyle {\frac {3}{2}}k_{\rm {B}}T}$, которая равна нулю при нулевой температуре. Чтобы идеальный газ имел ту же энергию, что и электронный газ, температуры должны быть порядка температуры Ферми. Термодинамически эта энергия электронного газа соответствует давлению при нулевой температуре, задаваемому формулой

${\displaystyle P=-\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T,\mu }={\frac {2}{3}}u(0),}$

где ${\textstyle V}$ это объем и ${\textstyle U(T)=u(T)V}$ - полная энергия, производная при температуре и константе химического потенциала. Это давление называется давление электронного вырождения и происходит не из-за отталкивания или движения электронов, а из-за ограничения, согласно которому не более двух электронов (из-за двух значений спина) могут занимать один и тот же энергетический уровень. Это давление определяет сжимаемость или объемный модуль металла

${\displaystyle B=-V\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T,\mu }={\frac {5}{3}}P={\frac {2}{3}}nE_{\rm {F}}.}$

Это выражение дает правильный порядок величины модуля объемной упругости для щелочных и благородных металлов, которые показывают, что это давление так же важно, как и другие эффекты внутри металла. Для других металлов необходимо учитывать кристаллическую структуру.

Дополнительные прогнозы

Теплоемкость

Дальнейшая информация: Электронная теплоемкость

Одна из открытых проблем в физике твердого тела до появления модели свободных электронов была связана с низким теплоемкость металлов. Даже когда Модель Друде было хорошим приближением числа Лоренца закона Видемана – Франца, классический аргумент основан на идее, что объемная теплоемкость идеального газа

${\displaystyle c_{V}^{\text{Drude}}={\frac {3}{2}}nk_{\rm {B}}}$.

Если бы это было так, теплоемкость металла могла бы быть намного выше из-за этого электронного вклада. Тем не менее, такая большая теплоемкость никогда не измерялась, что вызывает подозрения в отношении аргумента. Используя расширение Зоммерфельда, можно получить поправки на плотность энергии при конечной температуре и получить объемную теплоемкость электронного газа, определяемую как:

${\displaystyle c_{V}=\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{n}={\frac {\pi ^{2}}{2}}{\frac {T}{T_{\rm {F}}}}nk_{\rm {B}}}$,

где префактор для ${\displaystyle nk_{B}}$значительно меньше, чем 3/2, найденное в ${\textstyle c_{V}^{\text{Drude}}}$, примерно в 100 раз меньше при комнатной температуре и намного меньше при более низкой ${\textstyle T}$. Хорошая оценка Число Лоренца в модели Друде была результатом того, что классическая средняя скорость электрона была примерно в 100 раз больше, чем в квантовой версии, что компенсировало большое значение классической теплоемкости. Расчет фактора Лоренца по модели свободных электронов примерно в два раза больше, чем у Друде, и ближе к экспериментальному значению. При такой теплоемкости модель свободных электронов также способна предсказывать правильный порядок величины и температурную зависимость при малых Т для Коэффициент Зеебека из термоэлектрический эффект.

Очевидно, электронный вклад сам по себе не предсказывает Закон Дюлонга – Пети, т.е. наблюдение, что теплоемкость металла постоянна при высоких температурах. В этом смысле модель свободных электронов можно улучшить, добавив вклад колебаний решетки. Две известные схемы включения решетки в задачу: Эйнштейн твердый модель и Дебая модель. С добавлением последнего, объемную теплоемкость металла при низких температурах можно более точно записать в виде

${\displaystyle c_{V}\approx \gamma T+AT^{3}}$,

где ${\displaystyle \gamma }$ и ${\displaystyle A}$ - константы, связанные с материалом. Линейный член происходит от электронного вклада, а кубический член - из модели Дебая. При высокой температуре это выражение перестает быть правильным, электронной теплоемкостью можно пренебречь, а общая теплоемкость металла стремится к постоянной.

Длина свободного пробега

Обратите внимание, что без приближения времени релаксации у электронов нет причин отклонять свое движение, поскольку нет взаимодействий, поэтому длина свободного пробега должно быть бесконечно. Модель Друде считала, что длина свободного пробега электронов близка к расстоянию между ионами в материале, что подразумевает сделанный ранее вывод о том, что диффузное движение электронов произошло из-за столкновений с ионами. Длина свободного пробега в модели свободных электронов вместо этого определяется выражением ${\textstyle \lambda =v_{\rm {F}}\tau }$ (куда ${\textstyle v_{\rm {F}}={\sqrt {2E_{\rm {F}}/m_{e}}}}$ - скорость Ферми) и порядка сотен Ангстремс, по крайней мере, на порядок больше, чем любой возможный классический расчет. В этом случае длина свободного пробега не является результатом электрон-ионных столкновений, а связана с несовершенствами материала либо из-за дефекты и примеси в металле, или из-за тепловых колебаний.^[3]

Неточности и расширения

Модель свободных электронов имеет несколько недостатков, которым противоречат экспериментальные наблюдения. Мы перечисляем некоторые неточности ниже:

Температурная зависимость

Модель свободных электронов представляет несколько физических величин, которые имеют неправильную температурную зависимость или вообще не имеют такой зависимости, как электропроводность. Теплопроводность и удельная теплоемкость хорошо предсказываются для щелочных металлов при низких температурах, но не могут предсказать поведение при высоких температурах из-за движения ионов и фонон рассеяние.

Эффект Холла и магнитосопротивление

Коэффициент Холла имеет постоянное значение р_ЧАС = –1/(ne) в модели Друде и в модели свободных электронов. Это значение не зависит от температуры и силы магнитного поля. Фактически коэффициент Холла зависит от ленточная структура и разница с моделью может быть довольно значительной при изучении таких элементов, как магний и алюминий которые имеют сильную зависимость от магнитного поля. Модель свободных электронов также предсказывает, что поперечное магнитосопротивление, сопротивление в направлении тока, не зависит от напряженности поля. Почти во всех случаях это так.

Направленный

Электропроводность некоторых металлов может зависеть от ориентации образца по отношению к электрическому полю. Иногда даже электрический ток не параллелен полю. Эта возможность не описывается, поскольку модель не интегрирует кристалличность металлов, то есть существование периодической решетки ионов.

Разнообразие проводимости

Не все материалы электрические проводники, некоторые не очень хорошо проводят электричество (изоляторы ), некоторые могут проводить при добавлении примесей, например полупроводники. Полуметаллы, с узкими зонами проводимости. Это разнообразие не предсказывается моделью и может быть объяснено только путем анализа валентные зоны и зоны проводимости. Кроме того, электроны - не единственные носители заряда в металле, электронных вакансиях или дыры можно рассматривать как квазичастицы несущий положительный электрический заряд. Проведение дырок приводит к противоположному знаку для коэффициентов Холла и Зеебека, предсказываемых моделью.

Другие недостатки присутствуют в законе Видемана – Франца при промежуточных температурах и в частотной зависимости металлов в оптическом спектре.

Более точные значения для электропроводности и закона Видемана – Франца могут быть получены путем смягчения приближения времени релаксации, обращаясь к Уравнения переноса Больцмана или Формула Кубо.

Вращение в модели свободных электронов в основном не учитывается, и его последствия могут привести к возникновению магнитных явлений, таких как Парамагнетизм Паули и ферромагнетизм.

Непосредственное продолжение модели свободных электронов может быть получено, если предположить, что приближение пустой решетки, которая составляет основу модели ленточной структуры, известной как модель почти свободных электронов.

Добавление отталкивающих взаимодействий между электронами не сильно меняет представленную здесь картину. Лев Ландау показали, что ферми-газ при отталкивающих взаимодействиях можно рассматривать как газ эквивалентных квазичастиц, которые слегка изменяют свойства металла. Модель Ландау теперь известна как Теория ферми-жидкости. Более экзотические явления, такие как сверхпроводимость, где взаимодействия могут быть привлекательными, требуют более точной теории.

Смотрите также

• Теорема Блоха
• Электронная энтропия
• Плотный переплет
• Двумерный электронный газ
• Статистика Бозе – Эйнштейна
• Поверхность Ферми
• белый Гном

Рекомендации

1. Зоммерфельд, Арнольд (1928-01-01). "Zur Elektronentheorie der Metalle auf Grund der Fermischen Statistik". Zeitschrift für Physik (на немецком). 47 (1–2): 1–32. Bibcode:1928ZPhy ... 47 .... 1S. Дои:10.1007 / bf01391052. ISSN  0044-3328.
2. Неф, Род. «Энергии Ферми, температуры Ферми и скорости Ферми». Гиперфизика. Получено 2018-03-21.
3. Цымбал, Евгений (2008). «Электронный транспорт» (PDF). Университет Небраски-Линкольн. Получено 2018-04-21.

Общее

• Киттель, Чарльз (1953). Введение в физику твердого тела. Мичиганский университет: Wiley.
• Эшкрофт, Нил; Мермин, Н. Давид (1976). Физика твердого тела. Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN  978-0-03-083993-1.
• Зоммерфельд, Арнольд; Бете, Ганс (1933). Elektronentheorie der Metalle. Берлин Гейдельберг: Springer Verlag. ISBN  978-3642950025.