Эффективная масса (физика твердого тела) - Effective mass (solid-state physics)

Для отрицательной массы в теоретическая физика, увидеть Отрицательная масса.

В физика твердого тела, частицы эффективная масса (часто обозначается ${\textstyle m^{*}}$) это масса это кажется иметь при реакции на силы, или массу, которую он, кажется, имеет при взаимодействии с другими идентичными частицами в тепловое распределение. Один из результатов ленточная теория твердых тел состоит в том, что движение частиц в периодическом потенциале на большие расстояния, превышающие размер решетки, может сильно отличаться от их движения в вакууме. Эффективная масса - это величина, которая используется для упрощения зонных структур путем моделирования поведения свободной частицы с этой массой. Для некоторых целей и некоторых материалов эффективную массу можно рассматривать как простую константу материала. Однако в целом значение эффективной массы зависит от цели, для которой она используется, и может варьироваться в зависимости от ряда факторов.

Для электроны или электронные дыры в твердом теле эффективная масса обычно выражается в единицах масса покоя электрона, м_е (9.11×10⁻³¹ кг). В этих единицах она обычно находится в диапазоне от 0,01 до 10, но также может быть ниже или выше - например, достигая 1000 в экзотических единицах. тяжелые фермионы, или где угодно от нуля до бесконечности (в зависимости от определения) в графен. Поскольку это упрощает более общую теорию зон, эффективная масса электронов может рассматриваться как важный базовый параметр, который влияет на измеряемые свойства твердого тела, включая все, от эффективности солнечного элемента до скорости интегральной схемы.

Простой случай: параболическое, изотропное дисперсионное соотношение

При самых высоких энергиях валентной зоны во многих полупроводниках (Ge, Si, GaAs, ...) и самых низких энергиях зоны проводимости в некоторых полупроводниках (GaAs, ...) зонная структура E(k) можно локально аппроксимировать как

${\displaystyle E(\mathbf {k} )=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}}{2m^{*}}}}$

где E(k) это энергия электрона при волновой вектор k в этой группе, E₀ является константой, дающей край энергии этой полосы, и м^* - константа (эффективная масса).

Можно показать, что электроны, помещенные в эти зоны, ведут себя как свободные электроны, за исключением другой массы, до тех пор, пока их энергия остается в пределах применимости приведенного выше приближения. В результате масса электрона в таких моделях, как Модель Друде необходимо заменить на эффективную массу.

Одно замечательное свойство состоит в том, что эффективная масса может стать отрицательный, когда полоса изгибается вниз от максимума. В результате отрицательная масса электроны реагируют на электрические и магнитные силы, набирая скорость в противоположном направлении по сравнению с нормальным; хотя эти электроны имеют отрицательный заряд, они движутся по траекториям, как если бы они имели положительный заряд (и положительную массу). Это объясняет существование дыры валентной зоны, положительный заряд, положительная масса квазичастицы которые можно найти в полупроводниках.^[1]

В любом случае, если ленточная структура имеет описанную выше простую параболическую форму, то значение эффективной массы однозначно. К сожалению, эта параболическая форма не подходит для описания большинства материалов. В таких сложных материалах нет единого определения «эффективной массы», а есть несколько определений, каждое из которых подходит для определенной цели. В остальной части статьи эти эффективные массы описаны подробно.

Промежуточный случай: параболическое, анизотропное дисперсионное соотношение.

Эллипсоиды постоянной энергии в кремнии вблизи шести минимумов зоны проводимости. Для каждой долины (минимум полосы) эффективные массы равны м_ℓ = 0.92м_е («продольный»; по одной оси) и м_т = 0.19м_е («поперечный»; по двум осям).^[2]

В некоторых важных полупроводниках (в частности, в кремнии) зоны проводимости с самыми низкими энергиями несимметричны, так как поверхности с постоянной энергией теперь эллипсоиды, а не сферы в изотропном случае. Каждый минимум зоны проводимости можно аппроксимировать только

${\displaystyle E\left(\mathbf {k} \right)=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{x}^{*}}}\left(k_{x}-k_{0,x}\right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{y}^{*}}}\left(k_{y}-k_{0,y}\right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{z}^{*}}}\left(k_{z}-k_{0,z}\right)^{2}}$

где Икс, у, и z оси совмещены с главными осями эллипсоидов, а м_Икс^*, м_у^* и м_z^* - инерционные эффективные массы вдоль этих различных осей. Смещения k_0,Икс, k_0,у, и k_0,z отражают, что минимум зоны проводимости больше не центрируется на нулевом волновом векторе. (Эти эффективные массы соответствуют главным компонентам тензора инерционной эффективной массы, описанного ниже.^[3])

В этом случае движение электрона уже нельзя напрямую сравнивать со свободным электроном; скорость электрона будет зависеть от его направления, и он будет ускоряться в разной степени в зависимости от направления силы. Тем не менее, в кристаллах, таких как кремний, общие свойства, такие как проводимость, кажутся изотропными. Это потому, что есть несколько долины (минимумы зоны проводимости), каждый с эффективными массами, переставленными по разным осям. Долины вместе действуют вместе, обеспечивая изотропную проводимость. Можно каким-то образом усреднить эффективные массы различных осей вместе, чтобы восстановить картину свободных электронов. Однако оказывается, что метод усреднения зависит от цели:^[4]

• Для расчета полной плотности состояний и полной плотности носителей через среднее геометрическое в сочетании с фактором вырождения г который считает количество долин (в кремнии г = 6):^[3]

  ${\displaystyle m_{\text{density}}^{*}={\sqrt[{3}]{g^{2}m_{x}m_{y}m_{z}}}}$

  (Эта эффективная масса соответствует эффективной массе плотности состояний, описанной ниже.)

  Для плотности состояний на долину и плотности носителей на долину фактор вырождения не учитывается.
• Для расчета проводимости, как в модели Друде, через гармоническое среднее

  ${\displaystyle m_{\text{conductivity}}^{*}=3\left[{\frac {1}{m_{x}^{*}}}+{\frac {1}{m_{y}^{*}}}+{\frac {1}{m_{z}^{*}}}\right]^{-1}}$

  Поскольку закон Друде также зависит от времени рассеяния, которое сильно варьируется, эта эффективная масса используется редко; Вместо этого проводимость обычно выражается через плотность носителей и параметр, измеренный эмпирически, мобильность оператора.

Общий случай

Вообще говоря, дисперсионное соотношение не может быть аппроксимировано параболическим, и в таких случаях эффективная масса должна быть точно определена, если она вообще будет использоваться. Здесь общепринятое определение эффективной массы - это инерционный тензор эффективной массы, определенный ниже; однако в целом это матричнозначная функция волнового вектора и даже более сложная, чем зонная структура. Другие эффективные массы больше подходят для явлений, которые можно измерить напрямую.

Тензор инерционной эффективной массы

Классическая частица под действием силы ускоряется согласно Второй закон Ньютона, а = м⁻¹F. Этот интуитивный принцип идентично проявляется в полуклассических приближениях, полученных из зонной структуры. Однако каждый из символов имеет несколько измененное значение; ускорение становится скоростью изменения групповая скорость:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\,\mathbf {v} _{\text{g}}={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left(\nabla _{k}\,\omega \left(\mathbf {k} \right)\right)=\nabla _{k}{\frac {\operatorname {d} \omega \left(\mathbf {k} \right)}{\operatorname {d} t}}=\nabla _{k}\left({\frac {\operatorname {d} \mathbf {k} }{\operatorname {d} t}}\cdot \nabla _{k}\,\omega (\mathbf {k} )\right),}$

где ∇_k это оператор дель в взаимное пространство, а сила дает скорость изменения импульс кристалла п_{кристалл}:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\operatorname {d} \mathbf {p} _{\text{crystal}}}{\operatorname {d} t}}=\hbar {\frac {\operatorname {d} \mathbf {k} }{\operatorname {d} t}},}$

где час = час/ 2π это приведенная постоянная Планка. Объединение этих двух уравнений дает

${\displaystyle \mathbf {a} =\nabla _{k}\left({\frac {\mathbf {F} }{\hbar }}\cdot \nabla _{k}\,\omega (\mathbf {k} )\right).}$

Извлечение яй элемент с обеих сторон дает

${\displaystyle a_{i}=\left({\frac {1}{\hbar }}\,{\frac {\partial ^{2}\omega \left(\mathbf {k} \right)}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}\right)\!F_{j}=\left({\frac {1}{\hbar ^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}E\left(\mathbf {k} \right)}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}\right)\!F_{j},}$

где а_я это яй элемент а, F_j это jй элемент F, k_я и k_j являются яй и jй элементы kсоответственно и E - полная энергия частицы согласно Соотношение Планка – Эйнштейна. Индекс j заключен путем использования Обозначения Эйнштейна (есть неявное суммирование по j). Поскольку второй закон Ньютона использует инертная масса (не гравитационная масса ), мы можем идентифицировать обратную к этой массе в уравнении выше как тензор

${\displaystyle \left[M_{\text{inert}}^{-1}\right]_{ij}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}\,.}$

Этот тензор выражает изменение групповой скорости из-за изменения импульса кристалла. Его обратное, M_{инертный}, известен как тензор эффективных масс.

Обычно используется инерционное выражение для эффективной массы, но обратите внимание, что его свойства могут быть нелогичными:

• Тензор эффективной массы обычно меняется в зависимости от k, что означает, что масса частицы фактически изменяется после воздействия на нее импульса. Единственные случаи, в которых он остается постоянным, - это параболические полосы, описанные выше.
• Тензор эффективной массы расходится (становится бесконечным) для линейных дисперсионных соотношений, например, для фотонов или электронов в графен.^[5] (Эти частицы иногда называют безмассовыми, однако это относится к их нулевым масса покоя; Масса покоя - это отличное понятие от эффективной массы.)

Эффективная масса циклотрона

Классически заряженная частица в магнитном поле движется по спирали вдоль оси магнитного поля. Период Т его движения зависит от его массы м и зарядить е,

${\displaystyle T=\left\vert {\frac {2\pi m}{eB}}\right\vert }$

где B это плотность магнитного потока.

Для частиц в асимметричных ленточных структурах частица больше не движется точно по спирали, однако ее движение поперек магнитного поля все еще движется по замкнутому контуру (не обязательно по кругу). Более того, время завершения одной из этих петель по-прежнему изменяется обратно пропорционально магнитному полю, поэтому можно определить циклотронная эффективная масса от измеренного периода, используя приведенное выше уравнение.

Полуклассическое движение частицы можно описать замкнутым контуром в k-пространстве. На протяжении всей этой петли частица поддерживает постоянную энергию, а также постоянный импульс вдоль оси магнитного поля. Определив А быть k-Космос площадь, ограниченная этой петлей (эта площадь зависит от энергии E, направление магнитного поля и осевой волновой вектор k_B), то можно показать, что циклотронная эффективная масса зависит от зонной структуры через производную этой области по энергии:

${\displaystyle m^{*}\left(E,{\hat {B}},k_{\hat {B}}\right)={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}\cdot {\frac {\partial }{\partial E}}A\left(E,{\hat {B}},k_{\hat {B}}\right)}$

Обычно эксперименты по измерению циклотронного движения (циклотронный резонанс, эффект де Хааса – ван Альфена и т. д.) ограничиваются только движением зонда для энергий около Уровень Ферми.

В двумерные электронные газы, циклотронная эффективная масса определяется только для одного направления магнитного поля (перпендикулярного), и волновой вектор вне плоскости выпадает. Таким образом, циклотронная эффективная масса является только функцией энергии, и оказывается, что она точно связана с плотностью состояний при этой энергии через соотношение ${\displaystyle \scriptstyle g(E)\;=\;{\frac {g_{v}m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$, где г_v вырождение долины. Такое простое соотношение неприменимо к трехмерным материалам.

Эффективные массы плотности состояний (слаболегированные полупроводники)

Эффективная масса плотности состояний в различных полупроводниках^[6][7][8][9]

Группа	Материал	Электрон	Дыра
IV	Si (4 K)	1.06	0.59
	Si (300 K)	1.09	1.15
	Ge	0.55	0.37
III-V	GaAs	0.067	0.45
	InSb	0.013	0.6
II-VI	ZnO	0.29	1.21
	ZnSe	0.17	1.44

В полупроводниках с низким уровнем легирования концентрация электронов в зоне проводимости обычно определяется выражением

${\displaystyle n_{e}=N_{C}\exp \left(-{\frac {E_{\text{C}}-E_{\text{F}}}{kT}}\right)}$

где E_F это Уровень Ферми, E_C - минимальная энергия зоны проводимости, а N_C - коэффициент концентрации, зависящий от температуры. Вышеупомянутое соотношение для п_е можно показать, что он применим для любой формы зоны проводимости (включая непараболические, асимметричные зоны) при условии слабого легирования (E_C-E_F >> кТ); это следствие Статистика Ферми – Дирака ограничиваясь Статистика Максвелла – Больцмана.

Концепция эффективной массы полезна для моделирования температурной зависимости N_C, тем самым позволяя использовать указанное выше соотношение в широком диапазоне температур. В идеализированном трехмерном материале с параболической полосой коэффициент концентрации определяется выражением

${\displaystyle \quad N_{C}=2\left({\frac {2\pi m_{e}^{*}kT}{h^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}$

В полупроводниках с непростой зонной структурой это соотношение используется для определения эффективной массы, известной как плотность состояний эффективная масса электронов. Название «эффективная масса плотности состояний» используется, поскольку приведенное выше выражение для N_C выводится через плотность состояний для параболической ленты.

На практике эффективная масса, извлеченная таким образом, не совсем постоянна по температуре (N_C точно не меняется как Т^3/2). В кремнии, например, эта эффективная масса изменяется на несколько процентов между абсолютным нулем и комнатной температурой, потому что сама зонная структура немного меняет форму. Эти искажения зонной структуры являются результатом изменения энергий электрон-фононного взаимодействия, при этом тепловое расширение решетки играет незначительную роль.^[6]

Точно так же количество дырок в валентной зоне и плотность состояний эффективная масса дырок определяются:

${\displaystyle n_{h}=N_{V}\exp \left(-{\frac {E_{\text{F}}-E_{\text{V}}}{kT}}\right),\quad N_{V}=2\left({\frac {2\pi m_{h}^{*}kT}{h^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}$

где E_V - максимальная энергия валентной зоны. На практике эта эффективная масса имеет тенденцию сильно варьироваться между абсолютным нулем и комнатной температурой во многих материалах (например, в два раза в кремнии), поскольку есть несколько валентных зон с отчетливым и существенно непараболическим характером, все с пиками около одной энергии. .^[6]

определение

Экспериментальный

Традиционно эффективные массы измерялись с использованием циклотронный резонанс, метод, при котором микроволновое поглощение полупроводника, погруженного в магнитное поле, проходит через острый пик, когда микроволновая частота равна циклотронной частоте. ${\displaystyle \scriptstyle f_{c}\;=\;{\frac {eB}{2\pi m^{*}}}}$. В последние годы эффективные массы чаще определялись путем измерения ленточные конструкции с использованием таких методов, как угловое разрешение фотоэмиссия (ARPES ) или, прямо говоря, эффект де Хааса – ван Альфена. Эффективные массы также можно оценить, используя коэффициент γ линейного члена в низкотемпературной электронной удельная теплоемкость при постоянной громкости ${\displaystyle \scriptstyle c_{v}}$. Удельная теплоемкость зависит от эффективной массы через плотность состояний на Уровень Ферми и как таковая является мерой вырождения, а также кривизны ленты. Очень большие оценки массы носителя по измерениям удельной теплоемкости привели к концепции тяжелый фермион материалы. Поскольку перевозчик мобильность зависит от отношения времени столкновения носителей ${\displaystyle \tau }$ Что касается эффективной массы, массы в принципе могут быть определены из транспортных измерений, но этот метод не практичен, поскольку вероятности столкновения носителей обычно не известны априори. В оптический эффект Холла это развивающийся метод измерения плотности свободных носителей заряда, эффективной массы и параметров подвижности в полупроводниках. Оптический эффект Холла измеряет аналог квазистатического электрического эффекта Холла, индуцированного электрическим полем, на оптических частотах в проводящих и сложных слоистых материалах. Оптический эффект Холла позволяет также охарактеризовать анизотропию (тензорный характер) параметров эффективной массы и подвижности.^[10][11]

Теоретическая

Разнообразие теоретических методов, включая теория функционала плотности, k · p теория возмущений, и другие используются для дополнения и поддержки различных экспериментальных измерений, описанных в предыдущем разделе, включая интерпретацию, подгонку и экстраполяцию этих измерений. Некоторые из этих теоретических методов можно также использовать для ab initio предсказания эффективной массы при отсутствии каких-либо экспериментальных данных, например, для изучения материалов, которые еще не были созданы в лаборатории.

Значение

Эффективная масса используется в транспортных расчетах, таких как перенос электронов под действием полей или градиентов носителей, но она также используется для расчета плотности носителей и плотность состояний в полупроводниках. Эти массы связаны, но, как объяснялось в предыдущих разделах, не одинаковы, потому что веса разных направлений и волновых векторов различны. Эти различия важны, например, в термоэлектрические материалы, где высокая проводимость, обычно связанная с малой массой, желательна одновременно с высокой Коэффициент Зеебека, обычно ассоциируется с большой массой. В этом контексте были разработаны методы оценки электронной структуры различных материалов.^[12]

Определенная группа III -V такие соединения, как арсенид галлия (GaAs) и антимонид индия (InSb) имеют гораздо меньшие эффективные массы, чем четырехгранный группа IV материалы как кремний и германий. В самом простом Картинка друде электронного транспорта, максимальная достижимая скорость носителей заряда обратно пропорциональна эффективной массе: ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {v}}\;=\;\left\Vert \mu \right\Vert \cdot {\vec {E}}}$ где ${\displaystyle \scriptstyle \left\Vert \mu \right\Vert \;=\;{\frac {e\tau }{\left\Vert m^{*}\right\Vert }}}$ с участием ${\displaystyle \scriptstyle e}$ будучи электронный заряд. Максимальная скорость интегральные схемы зависит от скорости носителя, поэтому низкая эффективная масса является основной причиной того, что GaAs и его производные используются вместо Si в высокихпропускная способность такие приложения, как сотовая телефония.^[13]

В апреле 2017 года исследователи из Университета штата Вашингтон заявили, что создали жидкость с отрицательной эффективной массой внутри Конденсат Бозе – Эйнштейна, разработав соотношение дисперсии.^[14]

Смотрите также

Модели твердых тел и кристаллов:

• В Плотный переплет модель
• В Модель свободных электронов
• В Модель почти свободных электронов

Сноски

1. Киттель, Введение в физику твердого тела 8-е издание, страницы 194-196
2. Чарльз Киттель (1996). op. cit. п. 216. ISBN  978-0-471-11181-8.
3. Грин, М.А. (1990). «Собственная концентрация, эффективные плотности состояний и эффективная масса в кремнии». Журнал прикладной физики. 67 (6): 2944–2954. Bibcode:1990JAP .... 67.2944G. Дои:10.1063/1.345414.
4. «Эффективная масса в полупроводниках». Колорадский университет электротехники, вычислительной техники и энергетики. Получено 2016-07-23.
5. Виктор Ариэль; Амир Натан (2012). «Эффективная масса электрона в графене». arXiv:1206.6100 [Physics.gen-ph ].
6. Грин, М.А. (1990). «Собственная концентрация, эффективные плотности состояний и эффективная масса в кремнии». Журнал прикладной физики. 67 (6): 2944–2954. Bibcode:1990JAP .... 67.2944G. Дои:10.1063/1.345414.
7. С.З. Sze, Физика полупроводниковых приборов, ISBN  0-471-05661-8.
8. В.А. Харрисон, Электронная структура и свойства твердых тел., ISBN  0-486-66021-4.
9. Этот сайт дает эффективные массы кремния при разных температурах.
10. М. Шуберт, Инфракрасная эллипсометрия на структурах полупроводникового слоя: фононы, плазмоны и поляритоны, ISBN  3-540-23249-4.
11. Schubert, M .; Kuehne, P .; Даракчиева, В .; Хофманн, Т. (2016). «Оптический эффект Холла - описание модели: учебное пособие». Журнал Оптического общества Америки A. 33 (8): 1553–68. Bibcode:2016JOSAA..33.1553S. Дои:10.1364 / JOSAA.33.001553. PMID  27505654.
12. Син, Г. (2017). «Электронная функция пригодности для экранирования полупроводников как термоэлектрических материалов». Материалы физического обзора. 1 (6): 065405. arXiv:1708.04499. Bibcode:2017PhRvM ... 1f5405X. Дои:10.1103 / PhysRevMaterials.1.065405.
13. Silveirinha, M. R. G .; Энгета, Н. (2012). «Трансформационная электроника: настройка эффективной массы электронов». Физический обзор B. 86 (16): 161104. arXiv:1205.6325. Bibcode:2012ПхРвБ..86п1104С. Дои:10.1103 / PhysRevB.86.161104.
14. Хамехчи, К.А. (2017). "Гидродинамика отрицательной массы в конденсате Бозе-Эйнштейна с спин-орбитальной связью". Письма с физическими проверками. 118 (15): 155301. arXiv:1612.04055. Bibcode:2017PhRvL.118o5301K. Дои:10.1103 / PhysRevLett.118.155301. PMID  28452531.

использованная литература

• Пастори Парравичини, Г. (1975). Электронные состояния и оптические переходы в твердых телах. Pergamon Press. ISBN  978-0-08-016846-3. Эта книга содержит исчерпывающее, но доступное обсуждение темы с подробным сравнением расчетов с экспериментом.
• Пекар С. Метод эффективной массы электронов в кристаллах // Журн. Эксп. Теор. Физ. 16, 933 (1946).

внешние ссылки

• Архив NSM