Эйнштейн твердый - Einstein solid - Wikipedia

В Эйнштейн твердый представляет собой модель твердого тела, основанную на двух предположениях:

• Каждый атом в решетке представляет собой независимую трехмерную квантовый гармонический осциллятор
• Все атомы колеблются с одинаковой частотой (в отличие от Дебая модель )

Хотя предположение, что твердое тело имеет независимые колебания, очень точно, эти колебания являются звуковыми волнами или фононы, коллективные моды с участием многих атомов. Однако в модели Эйнштейна каждый атом колеблется независимо. Эйнштейн знал, что получить частоту реальных колебаний будет сложно, но, тем не менее, предложил эту теорию, потому что она была особенно ясной демонстрацией того, что квантовая механика может решить проблему удельной теплоты в классической механике.^[1]

Историческое влияние

Первоначальная теория, предложенная Эйнштейн 1907 г. имеет большое историческое значение. В теплоемкость из твердые вещества как предсказано эмпирическим Закон Дюлонга – Пети требовалось классическая механика, удельная теплоемкость твердых тел не должна зависеть от температуры. Но эксперименты при низких температурах показали, что теплоемкость меняется, стремясь к нулю при абсолютном нуле. По мере повышения температуры удельная теплоемкость увеличивается до тех пор, пока не приближается к прогнозам Дюлонга и Пети при высокой температуре.

Используя Планка квантование Согласно предположению, теория Эйнштейна впервые объяснила наблюдаемую экспериментальную тенденцию. Вместе с фотоэлектрический эффект, это стало одним из наиболее важных доказательств необходимости квантования. Эйнштейн использовал уровни квантово-механического осциллятора за много лет до появления современных квантовая механика.

Вывод теплоемкости

Для термодинамического подхода теплоемкость может быть получена с использованием различных статистические ансамбли. Все решения эквивалентны на термодинамический предел.

В микроканоническом ансамбле

Теплоемкость Эйнштейн твердый как функция температуры. Экспериментальное значение 3Nk восстанавливается при высоких температурах.

В теплоемкость объекта при постоянной громкости V определяется через внутренняя энергия U в качестве

${\displaystyle C_{V}=\left({\partial U \over \partial T}\right)_{V}.}$

${\displaystyle T}$, температуру системы можно найти из энтропия

${\displaystyle {1 \over T}={\partial S \over \partial U}.}$

Чтобы найти энтропию, рассмотрим твердое тело, состоящее из ${\displaystyle N}$ атомы, каждый из которых имеет 3 степени свободы. Так что есть ${\displaystyle 3N}$ квантовые гармонические осцилляторы (здесь и далее SHO для "простых гармонических осцилляторов").

${\displaystyle N^{\prime }=3N}$

Возможные энергии SHO даются как

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)}$

или, другими словами, уровни энергии равномерно распределены, и можно определить квант энергии

${\displaystyle \varepsilon =\hbar \omega }$

что является наименьшей и единственной величиной, на которую увеличивается энергия SHO. Затем мы должны вычислить кратность системы. То есть вычислить количество способов распределения ${\displaystyle q}$ кванты энергии среди ${\displaystyle N^{\prime }}$ SHOs. Эта задача становится проще, если думать о распределении ${\displaystyle q}$ галька ${\displaystyle N^{\prime }}$ коробки

или разделяя стопки гальки ${\displaystyle N^{\prime }-1}$ перегородки

или организация ${\displaystyle q}$ галька и ${\displaystyle N^{\prime }-1}$ перегородки

Последняя картина наиболее показательна. Количество аранжировок ${\displaystyle n}$ объекты ${\displaystyle n!}$. Итак, количество возможных вариантов расположения ${\displaystyle q}$ галька и ${\displaystyle N^{\prime }-1}$ перегородки ${\displaystyle \left(q+N^{\prime }-1\right)!}$. Но если поменяться местами раздел №3 и раздел №5, никто не заметит. То же самое касается квантов. Чтобы получить количество возможных различимый аранжировки нужно разделить общее количество аранжировок на количество неотличимый распоряжения. Есть ${\displaystyle q!}$ идентичные расположения квантов, и ${\displaystyle (N^{\prime }-1)!}$ идентичное расположение перегородок. Следовательно, кратность системы определяется выражением

${\displaystyle \Omega ={\left(q+N^{\prime }-1\right)! \over q!(N^{\prime }-1)!}}$

что, как упоминалось ранее, является количеством способов внести ${\displaystyle q}$ кванты энергии в ${\displaystyle N^{\prime }}$ генераторы. Энтропия системы имеет вид

${\displaystyle S/k=\ln \Omega =\ln {\left(q+N^{\prime }-1\right)! \over q!(N^{\prime }-1)!}.}$

${\displaystyle N^{\prime }}$ - огромное число - вычитание из него не имеет никакого общего эффекта:

${\displaystyle S/k\approx \ln {\left(q+N^{\prime }\right)! \over q!N^{\prime }!}}$

С помощью Приближение Стирлинга, энтропию можно упростить:

${\displaystyle S/k\approx \left(q+N^{\prime }\right)\ln \left(q+N^{\prime }\right)-N^{\prime }\ln N^{\prime }-q\ln q.}$

Полная энергия твердого тела определяется выражением

${\displaystyle U={N^{\prime }\varepsilon \over 2}+q\varepsilon ,}$

поскольку всего в системе имеется q квантов энергии в дополнение к энергии основного состояния каждого осциллятора. Некоторые авторы, такие как Шредер, опускают эту энергию основного состояния в своем определении полной энергии твердого тела Эйнштейна.

Теперь мы готовы вычислить температуру

${\displaystyle {1 \over T}={\partial S \over \partial U}={\partial S \over \partial q}{dq \over dU}={1 \over \varepsilon }{\partial S \over \partial q}={k \over \varepsilon }\ln \left(1+N^{\prime }/q\right)}$

Исключение q между двумя предыдущими формулами дает для U:

${\displaystyle U={N^{\prime }\varepsilon \over 2}+{N^{\prime }\varepsilon \over e^{\varepsilon /kT}-1}.}$

Первый член связан с нулевой энергией и не влияет на удельную теплоемкость. Поэтому на следующем шаге он будет потерян.

Дифференцируя по температуре, чтобы найти ${\displaystyle C_{V}}$ мы получаем:

${\displaystyle C_{V}={\partial U \over \partial T}={N^{\prime }\varepsilon ^{2} \over kT^{2}}{e^{\varepsilon /kT} \over \left(e^{\varepsilon /kT}-1\right)^{2}}}$

или же

${\displaystyle C_{V}=3Nk\left({\varepsilon \over kT}\right)^{2}{e^{\varepsilon /kT} \over \left(e^{\varepsilon /kT}-1\right)^{2}}.}$

Хотя модель твердого тела Эйнштейна точно предсказывает теплоемкость при высоких температурах, и в этом пределе

${\displaystyle \lim _{T\rightarrow \infty }C_{V}=3Nk}$,

что эквивалентно Закон Дюлонга – Пети.

Тем не менее теплоемкость заметно отклоняется от экспериментальных значений при низких температурах. Видеть Дебая модель для точного расчета низкотемпературной теплоемкости.

В каноническом ансамбле

Теплоемкость достигается за счет использования каноническая статистическая сумма простого квантового гармонического осциллятора.

${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-E_{n}/kT}}$

куда

${\displaystyle E_{n}=\varepsilon \left(n+{1 \over 2}\right)}$

подставив это в формулу статистической суммы, получим

${\displaystyle {\begin{aligned}Z=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-\varepsilon \left(n+1/2\right)/kT}=e^{-\varepsilon /2kT}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\varepsilon /kT}=e^{-\varepsilon /2kT}\sum _{n=0}^{\infty }\left(e^{-\varepsilon /kT}\right)^{n}\\={e^{-\varepsilon /2kT} \over 1-e^{-\varepsilon /kT}}={1 \over e^{\varepsilon /2kT}-e^{-\varepsilon /2kT}}={1 \over 2\sinh \left({\varepsilon \over 2kT}\right)}.\end{aligned}}}$

Это статистическая сумма один гармонический осциллятор. Поскольку статистически теплоемкость, энергия и энтропия твердого тела равномерно распределены между его атомами, мы можем работать с этой статистической суммой, чтобы получить эти величины, а затем просто умножить их на ${\displaystyle N^{\prime }}$ чтобы получить общую сумму. Затем давайте вычислим среднюю энергию каждого осциллятора.

${\displaystyle \langle E\rangle =U=-{1 \over Z}\partial _{\beta }Z}$

куда

${\displaystyle \beta ={1 \over kT}.}$

Следовательно,

${\displaystyle U=-2\sinh \left({\varepsilon \over 2kT}\right){-\cosh \left({\varepsilon \over 2kT}\right) \over 2\sinh ^{2}\left({\varepsilon \over 2kT}\right)}{\varepsilon \over 2}={\varepsilon \over 2}\coth \left({\varepsilon \over 2kT}\right).}$

Теплоемкость один осциллятор тогда

${\displaystyle c_{V}={\partial U \over \partial T}=-{\varepsilon \over 2}{1 \over \sinh ^{2}\left({\varepsilon \over 2kT}\right)}\left(-{\varepsilon \over 2kT^{2}}\right)=k\left({\varepsilon \over 2kT}\right)^{2}{1 \over \sinh ^{2}\left({\varepsilon \over 2kT}\right)}.}$

До сих пор мы вычисляли теплоемкость уникальной степени свободы, которая моделировалась как квантовая гармоника. Теплоемкость всего твердого тела тогда определяется выражением ${\displaystyle C_{V}=3Nc_{V}}$, где общее число степеней свободы твердого тела равно трем (для трех направлений свободы) раз ${\displaystyle N}$, число атомов в твердом теле. Таким образом получается

${\displaystyle C_{V}=3Nk\left({\varepsilon \over 2kT}\right)^{2}{1 \over \sinh ^{2}\left({\varepsilon \over 2kT}\right)}.}$

которая алгебраически идентична формуле, полученной в предыдущем разделе.

Количество ${\displaystyle T_{\rm {E}}=\varepsilon /k}$ имеет размеры температуры и является характерным свойством кристалла. Он известен как Температура Эйнштейна.^[2] Следовательно, модель кристалла Эйнштейна предсказывает, что энергия и теплоемкость кристалла являются универсальными функциями безразмерного отношения ${\displaystyle T/T_{\rm {E}}}$. Точно так же Дебая модель предсказывает универсальную функцию отношения ${\displaystyle T/T_{\rm {D}}}$, куда ${\displaystyle T_{\rm {D}}}$ - температура Дебая.

Ограничения и успешная модель

В модели Эйнштейна теплоемкость экспоненциально быстро приближается к нулю при низких температурах. Это потому, что все колебания имеют одну общую частоту. Правильное поведение обнаруживается путем квантования нормальные режимы твердого тела, как это предлагал Эйнштейн. Тогда частоты волн не одинаковы, и удельная теплоемкость стремится к нулю как ${\displaystyle T^{3}}$ степенной закон, соответствующий эксперименту. Эта модификация называется Дебая модель, появившийся в 1912 году.

Когда Вальтер Нернст узнал о работе Эйнштейна 1906 года об удельной теплоемкости,^[3] он был так взволнован, что проехал весь путь от Берлина до Цюриха, чтобы встретиться с ним.^[4]

Смотрите также

• Кинетическая теория твердого тела

Рекомендации

1. Мандл, Ф. (1988) [1971]. Статистическая физика (2-е изд.). Чичестер · Нью-Йорк · Брисбен · Торонто · Сингапур: Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0471915331.
2. Роджерс, Дональд (2005). Другая теория Эйнштейна: теория теплоемкости Планка-Бозе-Эйнштейна. Издательство Принстонского университета. п. 73. ISBN  0-691-11826-4.
3. Эйнштейн, Альберт (1906). "Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme" [Теория излучения Планка и теория теплоемкости]. Annalen der Physik. 4. 22: 180–190, 800. Bibcode:1906AnP ... 327..180E. Дои:10.1002 / andp.19063270110. Получено 2016-03-18.
4. Стоун, А. Д. (2013). Эйнштейн и квант: поиски доблестного швабца. Princeton University Press. стр.146. ISBN  978-0-691-13968-5.

внешняя ссылка

• Зеленый, Энрике. «Демонстрационный проект Вольфрама - Эйнштейн Солид». Получено 2016-03-18..