Статистический ансамбль (математическая физика) - Statistical ensemble (mathematical physics)

«Статистический ансамбль» перенаправляется сюда. Для использования в других целях см. Ансамбль (значения).

В физика в частности статистическая механика, ансамбль (также статистический ансамбль) - идеализация, состоящая из большого числа виртуальных копий (иногда бесконечно большого числа) система, рассматриваемые все одновременно, каждое из которых представляет возможное состояние, в котором может находиться реальная система. Другими словами, статистический ансамбль - это распределение вероятностей для состояния системы. Понятие ансамбля было введено Дж. Уиллард Гиббс в 1902 г.^[1]

А термодинамический ансамбль представляет собой особую разновидность статистического ансамбля, который, помимо других свойств, находится в статистическом равновесии (определенном ниже) и используется для получения свойств термодинамические системы из законов классической или квантовой механики.^[2][3]

Физические соображения

Этот ансамбль формализует представление о том, что экспериментатор, повторяющий эксперимент снова и снова в одних и тех же макроскопических условиях, но неспособный контролировать микроскопические детали, может ожидать увидеть ряд различных результатов.

Условный размер ансамблей в термодинамике, статистической механике и квантовая статистическая механика может быть очень большим, включая всевозможные микроскопическое состояние система могла быть внутри, в соответствии с наблюдаемыми макроскопический свойства. Для многих важных физических случаев можно рассчитать средние значения непосредственно по всему термодинамическому ансамблю, чтобы получить явные формулы для многих интересующих термодинамических величин, часто в терминах соответствующих функция распределения.

Концепция равновесного или стационарного ансамбля имеет решающее значение для многих приложений статистических ансамблей. Хотя механическая система определенно развивается со временем, ансамбль не обязательно должен развиваться. Фактически, ансамбль не будет развиваться, если он будет содержать все прошлые и будущие фазы системы. Такой статистический ансамбль, не меняющийся во времени, называется стационарный и можно сказать, что он в статистическое равновесие.^[1]

Терминология

• Слово «ансамбль» также используется для обозначения меньшего набора возможностей. отобранный из полного набора возможных состояний. Например, коллекция ходунки в Цепь Маркова Монте-Карло итерация в некоторой литературе называется ансамблем.
• Термин «ансамбль» часто используется в физике и в литературе, связанной с физикой. В теория вероятности, период, термин вероятностное пространство более распространен.

Основные ансамбли статистической термодинамики

Визуальное представление пяти статистических ансамблей.

Изучение термодинамики касается систем, которые кажутся человеческому восприятию «статичными» (несмотря на движение их внутренних частей) и которые могут быть описаны просто набором макроскопически наблюдаемых переменных. Эти системы можно описать статистическими ансамблями, которые зависят от нескольких наблюдаемых параметров и находятся в статистическом равновесии. Гиббс отметил, что разные макроскопические ограничения приводят к разным типам ансамблей с определенными статистическими характеристиками. Гиббс определил три важных термодинамических ансамбля:^[1]

• Микроканонический ансамбль или NVE ансамбль - статистический ансамбль, в котором полная энергия системы и число частиц в системе фиксированы на определенных значениях; Каждый из членов ансамбля должен иметь одинаковую полную энергию и число частиц. Система должна оставаться полностью изолированной (неспособной обмениваться энергией или частицами с окружающей средой), чтобы оставаться в статистическом равновесии.^[1]
• Канонический ансамбль или NVT ансамбль - статистический ансамбль, энергия которого точно не известна, но число частиц фиксировано. Вместо энергии температура указан. Канонический ансамбль подходит для описания замкнутой системы, которая находится или находилась в слабом тепловом контакте с термостатом. Чтобы быть в статистическом равновесии, система должна оставаться полностью закрытой (неспособной обмениваться частицами с окружающей средой) и может вступать в слабый тепловой контакт с другими системами, которые описываются ансамблями с той же температурой.^[1]
• Большой канонический ансамбль или мкВт ансамбль - статистический ансамбль, в котором не фиксированы ни энергия, ни число частиц. На их месте температура и химический потенциал указаны. Большой канонический ансамбль подходит для описания открытой системы: системы, которая находится или находилась в слабом контакте с резервуаром (тепловой контакт, химический контакт, радиационный контакт, электрический контакт и т. Д.). Ансамбль остается в статистическом равновесии, если система входит в слабый контакт с другими системами, которые описываются ансамблями с той же температурой и химическим потенциалом.^[1]

Расчеты, которые могут быть выполнены с использованием каждого из этих ансамблей, подробно рассматриваются в соответствующих статьях. Также могут быть определены другие термодинамические ансамбли, соответствующие различным физическим требованиям, для которых аналогичные формулы часто могут быть получены аналогичным образом.

Представления статистических ансамблей в статистической механике

Точное математическое выражение для статистического ансамбля имеет различную форму в зависимости от типа рассматриваемой механики (квантовой или классической). В классическом случае ансамбль представляет собой распределение вероятностей по микросостояниям. В квантовой механике это понятие, принадлежащее фон Нейману, является способом задания распределения вероятностей для результатов каждого полного набора коммутирующих наблюдаемых. В классической механике ансамбль записывается как распределение вероятностей в фазовое пространство; микросостояния являются результатом разделения фазового пространства на единицы равного размера, хотя размер этих единиц может быть выбран произвольно.

Требования к представительствам

Отложив на время вопрос о том, как генерируются статистические ансамбли оперативно, мы должны иметь возможность выполнять следующие две операции над ансамблями А, B той же системы:

• Проверить, действительно ли А, B статистически эквивалентны.
• Если п вещественное число такое, что 0 < п <1, затем создайте новый ансамбль путем вероятностной выборки из А с вероятностью п и из B с вероятностью 1 - п.

Следовательно, при определенных условиях классы эквивалентности статистических ансамблей имеют структуру выпуклого множества.

Квантовая механика

Основная статья: матрица плотности

Статистический ансамбль в квантовой механике (также известный как смешанное состояние) чаще всего представляет собой матрица плотности, обозначаемый ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$. Матрица плотности представляет собой полностью общий инструмент, который может объединять как квантовые неопределенности (присутствующие, даже если состояние системы было полностью известно), так и классические неопределенности (из-за недостатка знаний). Любая физическая наблюдаемая Икс в квантовой механике можно записать как оператор, ИКС. Математическое ожидание этого оператора на статистическом ансамбле ${\displaystyle \rho }$ дается следующим след:

${\displaystyle \langle X\rangle =\operatorname {Tr} ({\hat {X}}\rho ).}$

Это можно использовать для оценки средних значений (оператор ИКС), отклонения (используя оператор ИКС ²), ковариации (используя оператор X̂Ŷ) и т. д. Матрица плотности всегда должна иметь след 1: ${\displaystyle \operatorname {Tr} {\hat {\rho }}=1}$ (по сути, это условие, при котором вероятности должны составлять единицу).

В целом ансамбль со временем развивается в соответствии с уравнение фон Неймана.

Равновесные ансамбли (те, которые не развиваются во времени, ${\displaystyle d{\hat {\rho }}/dt=0}$) можно записать только как функцию от сохраняющихся переменных. Например, микроканонический ансамбль и канонический ансамбль являются строго функциями полной энергии, которая измеряется оператором полной энергии ЧАС (Гамильтониан). Большой канонический ансамбль дополнительно является функцией числа частиц, измеряемым оператором полного числа частиц N̂. Такие равновесные ансамбли представляют собой диагональная матрица в ортогональном базисе состояний, одновременно диагонализирующих каждую сохраняемую переменную. В обозначение бюстгальтера матрица плотности

${\displaystyle {\hat {\rho }}=\sum _{i}P_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$

где |ψ_я⟩, проиндексировано я, являются элементами полного и ортогонального базиса. (Обратите внимание, что в других базах матрица плотности не обязательно диагональна.)

Классическая механика

Эволюция ансамбля классический системы в фазовое пространство (верх). Каждая система состоит из одной массивной частицы в одномерном потенциальная яма (красная кривая, нижний рисунок). Первоначально компактный ансамбль со временем закручивается.

В классической механике ансамбль представлен функцией плотности вероятности, определенной по системе фазовое пространство.^[1] В то время как индивидуальная система развивается согласно Уравнения Гамильтона, функция плотности (ансамбль) эволюционирует во времени согласно Уравнение Лиувилля.

В механическая система с определенным количеством частей фазовое пространство имеет п обобщенные координаты называется q₁, ... q_п, и п связанный канонические импульсы называется п₁, ... п_п. Затем ансамбль представлен совместная функция плотности вероятности ρ(п₁, ... п_п, q₁, ... q_п).

Если количество частей в системе может изменяться для разных систем в ансамбле (как в большом ансамбле, где количество частиц является случайной величиной), то это распределение вероятностей по расширенному фазовому пространству, которое включает дополнительные переменные например, количество частиц N₁ (частицы первого вида), N₂ (второй вид частиц) и т. д. до N_s (последний вид частиц; s сколько существует различных видов частиц). Тогда ансамбль представлен совместная функция плотности вероятности ρ(N₁, ... N_s, п₁, ... п_п, q₁, ... q_п). Количество координат п зависит от количества частиц.

Любая механическая величина Икс можно записать как функцию фазы системы. Среднее значение любой такой величины дается интегралом по всему фазовому пространству этой величины, взвешенной по формуле ρ:

${\displaystyle \langle X\rangle =\sum _{N_{1}=0}^{\infty }\ldots \sum _{N_{s}=0}^{\infty }\int \ldots \int \rho X\,dp_{1}\ldots dq_{n}.}$

Применяется условие нормализации вероятности, требующее

${\displaystyle \sum _{N_{1}=0}^{\infty }\ldots \sum _{N_{s}=0}^{\infty }\int \ldots \int \rho \,dp_{1}\ldots dq_{n}=1.}$

Фазовое пространство - это непрерывное пространство, содержащее бесконечное количество различных физических состояний в любой небольшой области. Чтобы связать вероятность плотность в фазовом пространстве с вероятностью распространение Для микросостояний необходимо каким-то образом разделить фазовое пространство на блоки, которые распределены, справедливо представляя различные состояния системы. Оказывается, что правильный способ сделать это просто приводит к блокам равного размера канонического фазового пространства, и поэтому микросостояние в классической механике - это расширенная область в фазовом пространстве канонических координат, имеющая определенный объем.^{[примечание 1]} В частности, функция плотности вероятности в фазовом пространстве, ρ, связана с распределением вероятностей по микросостояниям, п фактором

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{h^{n}C}}P,}$

где

• час - произвольная, но заранее определенная константа с единицами измерения энергия × время, устанавливая степень микросостояния и обеспечивая правильные размеры для ρ.^{[заметка 2]}
• C - это поправочный коэффициент для пересчета (см. ниже), обычно зависящий от количества частиц и аналогичных факторов.

поскольку час могут быть выбраны произвольно, условный размер микросостояния также является произвольным. Тем не менее, ценность час влияет на смещение таких величин, как энтропия и химический потенциал, поэтому важно соответствовать значению час при сравнении разных систем.

Коррекция перерасчета в фазовом пространстве

Обычно фазовое пространство содержит дубликаты одного и того же физического состояния в нескольких различных местах. Это следствие того, как физическое состояние кодируется в математических координатах; Самый простой выбор системы координат часто позволяет кодировать состояние несколькими способами. Примером этого является газ из идентичных частиц, состояние которого записано в терминах отдельных положений и импульсов частиц: когда две частицы обмениваются, результирующая точка в фазовом пространстве отличается, и все же она соответствует идентичному физическому состоянию система. В статистической механике (теории физических состояний) важно признать, что фазовое пространство - это всего лишь математическая конструкция, и не переоценивать фактические физические состояния при интегрировании по фазовому пространству. Пересчет может вызвать серьезные проблемы:

• Зависимость производных величин (таких как энтропия и химический потенциал) от выбора системы координат, поскольку одна система координат может показывать больший или меньший перерасчет, чем другая.^{[заметка 3]}
• Ошибочные выводы, несовместимые с физическим опытом, например, парадокс смешения.^[1]
• Основные вопросы при определении химический потенциал и большой канонический ансамбль.^[1]

В общем, трудно найти систему координат, которая однозначно кодирует каждое физическое состояние. В результате обычно необходимо использовать систему координат с несколькими копиями каждого состояния, а затем распознавать и удалять перерасчет.

Грубый способ избавиться от перерасчета - вручную определить подобласть фазового пространства, которая включает каждое физическое состояние только один раз, а затем исключить все остальные части фазового пространства. В газе, например, можно было бы включить только те фазы, в которых частицы ' Икс координаты отсортированы по возрастанию. Хотя это решило бы проблему, полученный интеграл по фазовому пространству было бы утомительно выполнять из-за его необычной формы границы. (В этом случае фактор C введенный выше будет установлен на C = 1, а интеграл будет ограничен выбранной подобластью фазового пространства.)

Более простой способ исправить перерасчет - интегрировать по всему фазовому пространству, но уменьшить вес каждой фазы, чтобы точно компенсировать перерасчет. Это достигается за счет фактора C введенное выше целое число, которое представляет, сколько способов физическое состояние может быть представлено в фазовом пространстве. Его значение не меняется с непрерывными каноническими координатами,^{[примечание 4]} поэтому перерасчет можно исправить, просто интегрировав весь диапазон канонических координат, а затем разделив результат на коэффициент переучета. Однако, C действительно сильно зависит от дискретных переменных, таких как количество частиц, и поэтому его необходимо применять перед суммированием по количеству частиц.

Как упоминалось выше, классический пример такого пересчета - это жидкая система, содержащая различные виды частиц, где любые две частицы одного и того же вида неразличимы и взаимозаменяемы. Когда состояние записывается в терминах отдельных положений и импульсов частиц, то пересчет, связанный с обменом идентичными частицами, корректируется с помощью^[1]

${\displaystyle C=N_{1}!N_{2}!\ldots N_{s}!.}$

Это известно как «правильный счет Больцмана».

Ансамбли в статистике

Основные статьи: Принцип максимальной энтропии и Марковское случайное поле

Формулировка статистических ансамблей, используемых в физике, теперь широко применяется в других областях, отчасти потому, что было признано, что канонический ансамбль или Мера Гиббса служит для максимизации энтропии системы с учетом ряда ограничений: это принцип максимальной энтропии. Этот принцип теперь широко применяется к проблемам в лингвистика, робототехника, и тому подобное.

Кроме того, статистические ансамбли в физике часто строятся на основе принцип локальности: все взаимодействия происходят только между соседними атомами или соседними молекулами. Так, например, решетчатые модели, такой как Модель Изинга, модель ферромагнитные материалы посредством взаимодействия ближайших соседей между спинами. Статистическая формулировка принципа локальности теперь рассматривается как форма Марковская собственность в широком смысле; ближайшие соседи сейчас Марковские одеяла. Таким образом, общее понятие статистического ансамбля с взаимодействиями ближайших соседей приводит к Марковские случайные поля, которые снова находят широкое применение; например в Сети Хопфилда.

Оперативная интерпретация

В приведенном выше обсуждении, хотя и строго, мы приняли как должное, что понятие ансамбля справедливо априори, как это обычно делается в физическом контексте. Не было показано, что ансамбль сам (не вытекающие из этого результаты) - математически точно определенный объект. Например,

• Непонятно где это очень большой набор систем существует (например, это газ частиц внутри контейнера ?)
• Непонятно, как физически сформировать ансамбль.

В этом разделе мы попытаемся частично ответить на этот вопрос.

Предположим, у нас есть процедура подготовки для системы в лаборатории физики: например, процедура может включать в себя физическое устройство и некоторые протоколы для управления устройством. В результате этой процедуры подготовки некоторая система производится и поддерживается изолированно в течение небольшого периода времени. Повторяя эту процедуру лабораторной подготовки, мы получаем последовательность систем. Икс₁, Икс₂,....,Икс_k, который в нашей математической идеализации мы считаем бесконечный последовательность систем. Системы похожи в том, что все они были произведены одинаково. Эта бесконечная последовательность представляет собой ансамбль.

В лабораторных условиях каждая из этих подготовленных систем может использоваться в качестве входных данных для один последующий процедура тестирования. Опять же, процедура тестирования включает в себя физическое оборудование и некоторые протоколы; в результате процедуры тестирования получаем да или нет Ответ: дана процедура тестирования E применительно к каждой подготовленной системе, получаем последовательность значений Meas (E, Икс₁), МР (E, Икс₂), ...., Измер (E, Икс_k). Каждое из этих значений - 0 (или нет) или 1 (да).

Предположим, что существует следующее среднее время:

${\displaystyle \sigma (E)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\operatorname {Meas} (E,X_{k})}$

Для квантово-механических систем важное предположение, сделанное вквантовая логика подход к квантовой механике - это идентификация да нет вопросы к решетке замкнутых подпространств гильбертова пространства. С некоторыми дополнительными техническими предположениями можно сделать вывод, что состояния задаются операторами плотности S так что:

${\displaystyle \sigma (E)=\operatorname {Tr} (ES).}$

Мы видим, что это отражает определение квантовых состояний в целом: квантовое состояние - это отображение наблюдаемых на их математические ожидания.

Смотрите также

• Матрица плотности
• Ансамбль (механика жидкости)
• Фазовое пространство
• Теорема Лиувилля (гамильтониан)
• Среднее по ансамблю (статистическая механика)
• Репликация (статистика)

Заметки

1. Такое разделение равного объема является следствием Теорема Лиувилля, я. е., принцип сохранения протяженности в каноническом фазовом пространстве для гамильтоновой механики. Это также можно продемонстрировать, начиная с концепции ансамбля как множества систем. См. Гиббса Элементарные принципы, Глава I.
2. (Историческая справка) Оригинальный ансамбль Гиббса эффективно установил час = 1 [единица энергии] × [единица времени], что приводит к единичной зависимости значений некоторых термодинамических величин, таких как энтропия и химический потенциал. С появлением квантовой механики час часто принимается равным Постоянная Планка чтобы получить полуклассическое соответствие с квантовой механикой.
3. В некоторых случаях ошибка перерасчета допустима. Примером может служить выбор системы координат, используемой для представления ориентации трехмерных объектов. Простая кодировка - это 3-сфера (например, единица кватернионы ) который является двойная крышка —Каждая физическая ориентация может быть закодирована двояко. Если использовать эту кодировку без корректировки пересчета, то энтропия будет выше на k журнал 2 на вращающийся объект, а химический потенциал ниже на kT журнал 2. На самом деле это не приводит к какой-либо наблюдаемой ошибке, поскольку вызывает только ненаблюдаемые смещения.
4. Технически есть некоторые фазы, в которых перестановка частиц даже не приводит к отдельной конкретной фазе: например, две похожие частицы могут иметь одну и ту же траекторию, внутреннее состояние и т. Д. Однако в классической механике эти фазы составляют только одну бесконечно малая доля фазового пространства (у них мера ноль), поэтому они не вносят вклад в какой-либо объемный интеграл в фазовом пространстве.

использованная литература

внешние ссылки

• Апплет Монте-Карло применяется в задачах статистической физики.

1. Гиббс, Джозия Уиллард (1902). Элементарные принципы статистической механики. Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера.
2. Киттель, Чарльз; Герберт Кремер (1980). Теплофизика, второе издание. Сан-Франциско: W.H. Фримен и компания. стр. 31 и сл. ISBN  0-7167-1088-9.
3. Ландау, Л.; Лифшиц, Э.М. (1980). Статистическая физика. Pergamon Press. стр.9 и след. ISBN  0-08-023038-5.